Вопросы, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте определение степени с отрицательным показателем.

2. Сформулируйте свойства 1) -5). Приведите соответствующие примеры.

3. Как можно перенести число (выражение) из знаменателя дроби в числитель? Приведите пример.

4. Как можно перенести число (выражение) из числителя дроби в знаменатель? Приведите пример.

5. Может ли основание степени с нулевым показателем равняться нулю?

Понятие степени с отрицательным показателем ввел Никола Шюке в XV веке. Английский математик Джон Валлис сыграл ключевую роль в рассмотрении степеней с отрицательными показателями. А И. Ньютон начал систематически использовать это понятие. В 1676 году в одном из своих писем он написал следующее: «Как алгебраисты вместо АА, ААА, ... пишут $A^2, A^3, \dots$, так я вместо $\frac{1}{a}, \frac{1}{a^2}, \frac{1}{a^3}, \dots$ пишу $a^{-1}, a^{-2}, a^{-3}, \dots».$

1. Степенью числа $a$, не равного нулю, с целым отрицательным показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) называется число, обратное степени этого же числа с показателем $n$. Формула определения: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, при условии что $a \neq 0$. Например, $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: Степенью числа $a$ ($a \neq 0$) с целым отрицательным показателем $-n$ называется дробь $\frac{1}{a^n}$.

2. Для любых не равных нулю чисел $a$ и $b$ и любых целых чисел $m$ и $n$ верны следующие свойства:

1) Произведение степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Пример: $x^{-5} \cdot x^2 = x^{-5+2} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

2) Частное степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя.

$a^m : a^n = a^{m-n}$. Пример: $y^4 : y^6 = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

3) Возведение степени в степень: при возведении степени в степень показатели перемножаются.

$(a^m)^n = a^{mn}$. Пример: $(c^{-3})^2 = c^{-3 \cdot 2} = c^{-6} = \frac{1}{c^6}$.

4) Степень произведения: чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель.

$(ab)^n = a^n b^n$. Пример: $(2a)^{-3} = 2^{-3}a^{-3} = \frac{1}{8a^3}$.

5) Степень дроби: чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Пример: $(\frac{x}{y})^{-4} = \frac{x^{-4}}{y^{-4}} = \frac{y^4}{x^4}$.

Ответ: Свойства степеней с целым показателем: 1) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; 2) $a^m : a^n = a^{m-n}$; 3) $(a^m)^n = a^{mn}$; 4) $(ab)^n = a^n b^n$; 5) $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (для $a, b \neq 0$).

3. Чтобы перенести число или выражение из знаменателя дроби в числитель, необходимо изменить знак его показателя степени на противоположный. Это следует из определения степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Например, дробь $\frac{10}{x^5}$ можно записать как произведение $10x^{-5}$.

Ответ: Число (выражение) можно перенести из знаменателя дроби в числитель, поменяв знак его показателя степени на противоположный. Пример: $\frac{5}{y^2} = 5y^{-2}$.

4. Чтобы перенести число или выражение из числителя дроби в знаменатель, необходимо также изменить знак его показателя степени на противоположный. Это следует из равенства $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.

Например, выражение $7x^{-4}$ можно записать в виде дроби $\frac{7}{x^4}$.

Ответ: Число (выражение) можно перенести из числителя дроби в знаменатель, поменяв знак его показателя степени на противоположный. Пример: $a^3 = \frac{1}{a^{-3}}$.

5. Нет, основание степени с нулевым показателем не может равняться нулю. По определению, степень числа $a$ с нулевым показателем равна единице при условии, что основание $a$ не равно нулю ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$). Выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в курсе школьной алгебры считается неопределенным, так как его невозможно определить однозначно, исходя из свойств степени.

Ответ: Нет, основание степени с нулевым показателем не может быть равно нулю. Выражение $0^0$ не определено.