Номер 1.87, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.87. Докажите, что при любом натуральном $\text{n}$ число $10^n-1$ кратно 9.

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько подходов. Рассмотрим некоторые из них.

Способ 1: на основе десятичной записи числа

Рассмотрим, как выглядит число $10^n - 1$ в десятичной системе счисления.

Для любого натурального $n$, число $10^n$ — это единица, за которой следуют $n$ нулей (например, $10^2 = 100$, $10^3 = 1000$).

При вычитании единицы из такого числа мы получаем число, состоящее из $n$ девяток:

При $n=1$: $10^1 - 1 = 9$

При $n=2$: $10^2 - 1 = 100 - 1 = 99$

При $n=3$: $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$

В общем виде, $10^n - 1 = \underbrace{99...9}_{n \text{ цифр}}$.

Такое число можно очевидным образом представить как произведение 9 и другого целого числа:

$\underbrace{99...9}_{n \text{ цифр}} = 9 \times \underbrace{11...1}_{n \text{ цифр}}$.

Поскольку число $10^n - 1$ является произведением 9 и целого числа, оно кратно 9.

Кроме того, можно применить признак делимости на 9: сумма цифр числа $\underbrace{99...9}_{n \text{ цифр}}$ равна $9+9+...+9$ ($n$ раз), то есть $9n$. Так как $9n$ кратно 9, то и само число кратно 9.

Способ 2: метод математической индукции

1. База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$10^1 - 1 = 9$. Число 9 кратно 9. Утверждение верно.

2. Индукционное предположение: Предположим, что для некоторого натурального $k \ge 1$ утверждение верно, то есть $10^k - 1$ кратно 9. Это значит, что $10^k - 1 = 9m$ для некоторого целого $m$. Отсюда $10^k = 9m + 1$.

3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для $n = k+1$, то есть что $10^{k+1} - 1$ кратно 9.

$10^{k+1} - 1 = 10 \cdot 10^k - 1$.

Подставим выражение для $10^k$ из индукционного предположения:

$10(9m + 1) - 1 = 90m + 10 - 1 = 90m + 9 = 9(10m + 1)$.

Полученное число является произведением 9 и целого числа $(10m + 1)$, следовательно, оно кратно 9.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для любого натурального числа $n$.

Способ 3: с помощью теории сравнений

Чтобы доказать, что $10^n - 1$ кратно 9, нужно показать, что $10^n - 1$ дает остаток 0 при делении на 9. В терминах сравнений по модулю это записывается как $10^n - 1 \equiv 0 \pmod{9}$, что равносильно $10^n \equiv 1 \pmod{9}$.

Найдем остаток от деления 10 на 9:

$10 = 1 \cdot 9 + 1$, значит, $10 \equiv 1 \pmod{9}$.

Согласно свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого натурального $n$.

Возведем обе части сравнения $10 \equiv 1 \pmod{9}$ в степень $n$:

$10^n \equiv 1^n \pmod{9}$.

Так как $1^n = 1$, получаем $10^n \equiv 1 \pmod{9}$.

Это означает, что $10^n - 1$ делится на 9 нацело.

Способ 4: с использованием формулы разности степеней

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.

Применим ее к выражению $10^n - 1$, представив $1$ как $1^n$:

$10^n - 1 = 10^n - 1^n = (10-1)(10^{n-1} \cdot 1^0 + 10^{n-2}\cdot 1^1 + \dots + 10^0 \cdot 1^{n-1})$.

$10^n - 1 = 9 \cdot (10^{n-1} + 10^{n-2} + \dots + 10 + 1)$.

Выражение в скобках является суммой целых чисел, значит, само является целым числом.

Следовательно, число $10^n-1$ представлено как произведение 9 и целого числа, а значит, оно кратно 9.

Ответ: Утверждение доказано. При любом натуральном $n$ число $10^n-1$ кратно 9.