Номер 1.82, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.82. Если $a^3=p$ и $b^2=q$, то чему равно выражение $\left(\frac{a^8}{b^2}\right)^6$?

Для решения этой задачи нам необходимо выразить искомое выражение через переменные $p$ и $q$, используя данные равенства $a^3 = p$ и $b^2 = q$.

Начнем с упрощения заданного выражения $(\frac{a^8}{b^2})^6$, применяя свойства степеней.

1. Используем свойство возведения дроби в степень, которое гласит $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

$(\frac{a^8}{b^2})^6 = \frac{(a^8)^6}{(b^2)^6}$

2. Далее применим свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$\frac{(a^8)^6}{(b^2)^6} = \frac{a^{8 \cdot 6}}{b^{2 \cdot 6}} = \frac{a^{48}}{b^{12}}$

3. Теперь нам нужно выразить числитель $a^{48}$ и знаменатель $b^{12}$ через $p$ и $q$.

Из условия мы знаем, что $a^3 = p$. Мы можем представить $a^{48}$ как $(a^3)^{16}$, поскольку $3 \cdot 16 = 48$.

$a^{48} = (a^3)^{16} = p^{16}$

4. Аналогично поступим со знаменателем. Из условия $b^2 = q$. Мы можем представить $b^{12}$ как $(b^2)^6$, поскольку $2 \cdot 6 = 12$.

$b^{12} = (b^2)^6 = q^6$

5. Подставим полученные выражения для $a^{48}$ и $b^{12}$ в нашу дробь.

$\frac{a^{48}}{b^{12}} = \frac{p^{16}}{q^6}$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\frac{p^{16}}{q^6}$.

Ответ: $\frac{p^{16}}{q^6}$