Номер 1.85, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.85. Может ли уравнение $x^4-x^3+2x^2-4x+1=0$ иметь отрицательные корни?

Для того чтобы определить, может ли данное уравнение иметь отрицательные корни, проанализируем знаки каждого слагаемого в левой части уравнения $x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 1 = 0$ при условии, что $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$.

Рассмотрим каждый член полинома отдельно:

1. Слагаемое $x^4$. Так как $x$ — отрицательное число, его возведение в четную степень (4) даст положительный результат. Следовательно, $x^4 > 0$.

2. Слагаемое $-x^3$. Так как $x$ — отрицательное число, $x^3$ будет отрицательным (нечетная степень). Тогда $-x^3$ будет числом положительным. Следовательно, $-x^3 > 0$.

3. Слагаемое $2x^2$. Так как $x$ — отрицательное число, $x^2$ будет положительным (четная степень). Умножение на положительное число 2 также даст положительный результат. Следовательно, $2x^2 > 0$.

4. Слагаемое $-4x$. Это произведение двух отрицательных чисел ($-4$ и $x$), что дает положительный результат. Следовательно, $-4x > 0$.

5. Слагаемое $+1$. Это число положительно по определению. Следовательно, $1 > 0$.

Таким образом, при любом отрицательном значении $x$ левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых:

$\underbrace{x^4}_{>0} \underbrace{-x^3}_{>0} + \underbrace{2x^2}_{>0} \underbrace{-4x}_{>0} + \underbrace{1}_{>0}$

Сумма строго положительных чисел всегда является строго положительным числом и никогда не может быть равна нулю. Это означает, что для любого $x < 0$ выражение $x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 1$ всегда будет больше нуля.

Следовательно, данное уравнение не может иметь отрицательных корней.

Ответ: нет, не может.