Номер 1.83, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 1, числа:

1) $2^{15}$;

2) $5^6$?

1) $2^{15}$

Чтобы представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем $k$, отличным от 1 (то есть в виде $B^k$, где $k>1$), мы используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Мы ищем представления вида $(2^m)^k$, которые равны $2^{15}$. Это означает, что произведение показателей $m \cdot k$ должно быть равно 15. Таким образом, задача сводится к нахождению количества способов представить число 15 в виде произведения двух натуральных чисел $m$ и $k$, где $k$ (новый показатель степени) должен быть больше 1. Это эквивалентно подсчету количества делителей числа 15, которые больше 1.

Найдем все натуральные делители числа 15. Это 1, 3, 5, 15.

По условию, показатель степени $k$ должен быть отличен от 1, поэтому мы исключаем делитель 1. Остаются делители 3, 5 и 15. Каждому из этих значений $k$ соответствует один способ представления числа:

- при $k=3$, $m=15/3=5$. Представление: $(2^5)^3 = 32^3$.

- при $k=5$, $m=15/5=3$. Представление: $(2^3)^5 = 8^5$.

- при $k=15$, $m=15/15=1$. Представление: $(2^1)^{15} = 2^{15}$.

Следовательно, существует 3 способа представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем, отличным от 1.

Ответ: 3.

2) $5^6$

Аналогично первому пункту, для числа $5^6$ мы ищем количество представлений в виде $B^k$ с показателем $k>1$. Такое представление возможно, если $k$ является делителем показателя 6, и $k>1$. Таким образом, задача сводится к подсчету количества натуральных делителей числа 6, которые больше 1.

Найдем все натуральные делители числа 6. Это 1, 2, 3, 6.

Исключаем делитель 1, так как показатель новой степени должен быть от него отличен. Остаются делители 2, 3 и 6. Каждому из них соответствует один способ представления:

- при $k=2$, $m=6/2=3$. Представление: $(5^3)^2 = 125^2$.

- при $k=3$, $m=6/3=2$. Представление: $(5^2)^3 = 25^3$.

- при $k=6$, $m=6/6=1$. Представление: $(5^1)^6 = 5^6$.

Следовательно, существует 3 способа представить число $5^6$ в виде степени с показателем, отличным от 1.

Ответ: 3.