Номер 1.78, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.78. Представьте $5^{20}$ в виде степени с основанием:

1) $5^2$;

2) $25^2$;

3) $5^{10}$;

4) $625$;

5) $5^5$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство степени о возведении степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно представить число $5^{20}$ в виде степени с различными основаниями, находя для каждого случая соответствующий показатель.

1) 5²;

Требуется найти такое число $x$, что $(5^2)^x = 5^{20}$.

Используя свойство степени, левую часть равенства можно записать как $5^{2 \cdot x}$.

Получаем уравнение: $5^{2x} = 5^{20}$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $2x = 20$.

Решая уравнение, находим $x = \frac{20}{2} = 10$.

Таким образом, $5^{20} = (5^2)^{10}$.

Ответ: $(5^2)^{10}$.

2) 25²;

Сначала представим основание $25^2$ как степень числа 5.

Так как $25 = 5^2$, то основание $25^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$.

Теперь задача сводится к поиску такого числа $y$, что $(5^4)^y = 5^{20}$.

Запишем уравнение для показателей: $4y = 20$.

Отсюда $y = \frac{20}{4} = 5$.

Следовательно, $5^{20} = (5^4)^5$. Подставляя обратно $25^2$ вместо $5^4$, получаем $(25^2)^5$.

Ответ: $(25^2)^5$.

3) 5¹⁰;

Нужно найти такое число $x$, что $(5^{10})^x = 5^{20}$.

По свойству степени, $(5^{10})^x = 5^{10 \cdot x}$.

Приравниваем показатели: $10x = 20$.

Находим $x = \frac{20}{10} = 2$.

Значит, $5^{20} = (5^{10})^2$.

Ответ: $(5^{10})^2$.

4) 625;

Представим основание 625 как степень числа 5.

$625 = 5 \times 125 = 5 \times 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4$.

Ищем такое число $y$, что $(625)^y = 5^{20}$, или $(5^4)^y = 5^{20}$.

Составляем уравнение для показателей: $4y = 20$.

Решая его, получаем $y = \frac{20}{4} = 5$.

Следовательно, $5^{20} = 625^5$.

Ответ: $625^5$.

5) 5⁵.

Ищем такое число $x$, что $(5^5)^x = 5^{20}$.

По свойству степени, $(5^5)^x = 5^{5 \cdot x}$.

Приравниваем показатели: $5x = 20$.

Находим $x = \frac{20}{5} = 4$.

Таким образом, $5^{20} = (5^5)^4$.

Ответ: $(5^5)^4$.