Номер 1.73, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.73. Докажите, что:

1) квадраты противоположных чисел равны;

2) кубы противоположных чисел противоположны.

1) Пусть $a$ — произвольное число. Тогда $-a$ — противоположное ему число.

Необходимо доказать, что их квадраты равны, то есть что выполняется равенство $a^2 = (-a)^2$.

Рассмотрим квадрат числа $-a$:

$(-a)^2 = (-1 \cdot a)^2$.

Используя свойство степени произведения, которое гласит, что $(xy)^n = x^n y^n$, получаем:

$(-a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2$.

Так как $(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$, то:

$1 \cdot a^2 = a^2$.

Таким образом, мы доказали, что $(-a)^2 = a^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: квадраты противоположных чисел равны.

2) Пусть $a$ — произвольное число, а $-a$ — противоположное ему.

Необходимо доказать, что их кубы являются противоположными числами. Два числа $b$ и $c$ называются противоположными, если их сумма равна нулю ($b + c = 0$) или, что эквивалентно, $b = -c$. Следовательно, нам нужно доказать, что $(-a)^3 = -(a^3)$.

Рассмотрим куб числа $-a$:

$(-a)^3 = (-1 \cdot a)^3$.

Используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:

$(-a)^3 = (-1)^3 \cdot a^3$.

Поскольку $(-1)^3 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$, получаем:

$(-a)^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$.

Таким образом, мы доказали, что $(-a)^3 = -a^3$. Это означает, что куб числа $-a$ является числом, противоположным кубу числа $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: кубы противоположных чисел противоположны.