Номер 1.67, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. Представьте произведение в виде степени:

1) $a^4y^4$;

2) $a^8x^8y^8$;

3) $81c^4$;

4) $b^6x^6$;

5) $(-m)^4 \cdot n^4$;

6) $0,0016 \cdot p^4$.

1) Для того чтобы представить произведение в виде степени, применяется свойство степени произведения: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$. В этом свойстве говорится, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.

В данном случае показатели у обоих множителей равны 4. Применим это свойство:

$a^4y^4 = (a \cdot y)^4 = (ay)^4$.

Ответ: $(ay)^4$.

2) Это свойство можно применить и для трех множителей с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n \cdot c^n = (abc)^n$.

В нашем выражении все три множителя имеют показатель степени 8:

$a^8x^8y^8 = (a \cdot x \cdot y)^8 = (axy)^8$.

Ответ: $(axy)^8$.

3) В этом выражении один из множителей — число. Чтобы использовать свойство степени произведения, нужно представить это число в виде степени с таким же показателем, как и у другого множителя, то есть с показателем 4.

Найдем число, которое в 4-й степени равно 81. Мы знаем, что $3 \cdot 3 = 9$, и $9 \cdot 9 = 81$. Значит, $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, или $3^4 = 81$.

Теперь заменим 81 на $3^4$ в исходном выражении:

$81c^4 = 3^4 \cdot c^4$.

Теперь, когда у обоих множителей одинаковый показатель, применим свойство степени произведения:

$3^4c^4 = (3c)^4$.

Ответ: $(3c)^4$.

4) У множителей $b^6$ и $x^6$ одинаковый показатель степени, равный 6. Применим свойство степени произведения.

$b^6x^6 = (b \cdot x)^6 = (bx)^6$.

Ответ: $(bx)^6$.

5) Показатели степеней у множителей $(-m)^4$ и $n^4$ одинаковы и равны 4. Применим свойство степени произведения.

$(-m)^4 \cdot n^4 = ((-m) \cdot n)^4 = (-mn)^4$.

Также стоит отметить, что при возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. То есть, $(-m)^4 = m^4$. Поэтому выражение можно записать и так: $m^4 \cdot n^4 = (mn)^4$. Результаты $(-mn)^4$ и $(mn)^4$ равны, так как $(-1)^4 = 1$. Обычно выбирают запись без знака минус в основании.

Ответ: $(mn)^4$.

6) Как и в пункте 3, представим числовой коэффициент 0,0016 в виде степени с показателем 4.

Заметим, что $16 = 2^4$. Число 0,0016 — это $16$ деленное на $10000$. А $10000 = 10^4$.

Следовательно, $0.0016 = \frac{16}{10000} = \frac{2^4}{10^4} = (\frac{2}{10})^4 = (0.2)^4$.

Подставим это в исходное выражение:

$0.0016 \cdot p^4 = (0.2)^4 \cdot p^4$.

Теперь применим свойство степени произведения:

$(0.2)^4 \cdot p^4 = (0.2p)^4$.

Ответ: $(0.2p)^4$.