Номер 1.71, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Упростите выражение:

1) $a^3 \cdot (a^2)^4;$

2) $(a^2)^4 \cdot (a^4)^3;$

3) $(p^2 \cdot p^3)^2;$

4) $(m^2 \cdot m^3)^3;$

5) $(x^2)^5 \cdot x^5;$

6) $(y^2 \cdot y^3)^4.$

1) Для упрощения выражения $a^3 \cdot (a^2)^4$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала возведем степень в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Получим: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$. Теперь выражение имеет вид $a^3 \cdot a^8$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Следовательно, $a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$

2) В выражении $(a^2)^4 \cdot (a^4)^3$ сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$ и $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$. Затем перемножим полученные степени, сложив их показатели: $a^8 \cdot a^{12} = a^{8+12} = a^{20}$.

Ответ: $a^{20}$

3) В выражении $(p^2 \cdot p^3)^2$ можно пойти двумя путями. Первый способ: сначала выполним умножение в скобках, сложив показатели: $p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$. Затем возведем результат в степень: $(p^5)^2 = p^{5 \cdot 2} = p^{10}$. Второй способ: используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Тогда $(p^2 \cdot p^3)^2 = (p^2)^2 \cdot (p^3)^2 = p^4 \cdot p^6 = p^{4+6} = p^{10}$. Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $p^{10}$

4) Упростим выражение $(m^2 \cdot m^3)^3$. Сначала выполним действие в скобках, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $m^2 \cdot m^3 = m^{2+3} = m^5$. Теперь возведем полученный результат в куб, используя правило возведения степени в степень: $(m^5)^3 = m^{5 \cdot 3} = m^{15}$.

Ответ: $m^{15}$

5) Для упрощения выражения $(x^2)^5 \cdot x^5$ сначала возведем в степень первый множитель: $(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$. Затем умножим полученный результат на второй множитель, сложив показатели степеней: $x^{10} \cdot x^5 = x^{10+5} = x^{15}$.

Ответ: $x^{15}$

6) В выражении $(y^2 \cdot y^8)^4$ сначала упростим множители в скобках: $y^2 \cdot y^8 = y^{2+8} = y^{10}$. Затем возведем результат в четвертую степень, перемножив показатели: $(y^{10})^4 = y^{10 \cdot 4} = y^{40}$.

Ответ: $y^{40}$