Номер 1.69, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.69. Представьте выражение в виде степени с основанием b:

1) $(b^2)^8;$

2) $b \cdot b^7;$

3) $(b^8)^4;$

4) $(-b^5)^2;$

5) $b^3 \cdot b^3;$

6) $(b^8)^3.$

1) Для того чтобы представить выражение $(b^2)^8$ в виде степени с основанием $b$, необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень. Это свойство гласит, что при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило к нашему выражению, где основание $a=b$, показатель $m=2$, а показатель $n=8$:

$(b^2)^8 = b^{2 \cdot 8} = b^{16}$

Ответ: $b^{16}$.

2) Чтобы представить выражение $b \cdot b^7$ в виде степени, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается тем же, а показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Важно помнить, что любое число или переменная без явно указанного показателя степени имеет показатель, равный 1. То есть, $b = b^1$.

Таким образом, наше выражение можно записать как $b^1 \cdot b^7$. Теперь сложим показатели:

$b \cdot b^7 = b^{1+7} = b^8$

Ответ: $b^8$.

3) Для выражения $(b^8)^4$ снова применяем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

В данном случае основание $a=b$, показатель $m=8$, а показатель $n=4$. Перемножим показатели:

$(b^8)^4 = b^{8 \cdot 4} = b^{32}$

Ответ: $b^{32}$.

4) Рассмотрим выражение $(-b^5)^2$. Это выражение представляет собой возведение в квадрат. Квадрат любого числа (кроме нуля) всегда положителен, так как четная степень отрицательного числа дает положительный результат. То есть, $(-x)^2 = x^2$.

В нашем случае $x = b^5$. Следовательно:

$(-b^5)^2 = (b^5)^2$

Теперь воспользуемся правилом возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(b^5)^2 = b^{5 \cdot 2} = b^{10}$

Ответ: $b^{10}$.

5) Для того чтобы упростить выражение $b^3 \cdot b^8$, необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В нашем выражении основание одинаковое и равно $b$. Сложим показатели степеней $3$ и $8$:

$b^3 \cdot b^8 = b^{3+8} = b^{11}$

Ответ: $b^{11}$.

6) В выражении $(b^8)^3$ мы снова сталкиваемся с возведением степени в степень. Применяем то же свойство, что и в пунктах 1 и 3: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Здесь основание $a=b$, показатель $m=8$, а показатель $n=3$. Перемножим показатели:

$(b^8)^3 = b^{8 \cdot 3} = b^{24}$

Ответ: $b^{24}$.