Номер 1.72, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.72. Упростите выражение:

1) $\frac{(x^2 \cdot x)^4}{(x^3)^2}$;

2) $\frac{(ab)^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot (ab)^3}$;

3) $\frac{(a^2 \cdot x^3)^5}{(a^2)^2 \cdot x^5}$.

1) Для упрощения выражения $ \frac{(x^2 \cdot x)^4}{(x^3)^2} $ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $ x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3 $. Затем, при возведении степени в степень, показатели перемножаются: $ (x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12} $.

Теперь упростим знаменатель. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $ (x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6 $.

Получаем дробь: $ \frac{x^{12}}{x^6} $.

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $ x^{12-6} = x^6 $.

Ответ: $x^6$

2) Упростим выражение $ \frac{(ab)^2 \cdot a^3 \cdot b^4}{a \cdot (ab)^3} $.

Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойство возведения произведения в степень: $ (xy)^n = x^n y^n $.

Числитель: $ (ab)^2 \cdot a^3 \cdot b^4 = (a^2 b^2) \cdot a^3 \cdot b^4 $. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $ (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^4) = a^{2+3} \cdot b^{2+4} = a^5 b^6 $.

Знаменатель: $ a \cdot (ab)^3 = a \cdot (a^3 b^3) $. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $ (a \cdot a^3) \cdot b^3 = a^{1+3} \cdot b^3 = a^4 b^3 $.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^5 b^6}{a^4 b^3} $.

Разделим степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{a^5}{a^4} \cdot \frac{b^6}{b^3} = a^{5-4} \cdot b^{6-3} = a^1 b^3 = ab^3 $.

Ответ: $ab^3$

3) Упростим выражение $ \frac{(a^2 \cdot x^3)^5}{(a^2)^2 \cdot x^5} $.

Сначала упростим числитель, используя свойство возведения произведения в степень и свойство возведения степени в степень: $ (a^2 \cdot x^3)^5 = (a^2)^5 \cdot (x^3)^5 = a^{2 \cdot 5} \cdot x^{3 \cdot 5} = a^{10}x^{15} $.

Теперь упростим знаменатель: $ (a^2)^2 \cdot x^5 = a^{2 \cdot 2} \cdot x^5 = a^4 x^5 $.

Получаем дробь: $ \frac{a^{10}x^{15}}{a^4x^5} $.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются: $ \frac{a^{10}}{a^4} \cdot \frac{x^{15}}{x^5} = a^{10-4} \cdot x^{15-5} = a^6x^{10} $.

Ответ: $a^6x^{10}$