Номер 1.68, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. Запишите выражение в виде степени с основанием а:

1) $(a^5)^2 \cdot a;$

2) $a^3 \cdot a^3;$

3) $a \cdot a^2 \cdot a^3;$

4) $((a^2)^3)^4;$

5) $(a^2 \cdot a^3)^2;$

6) $a^2 \cdot (a^3)^4 \cdot a.$

1) Для упрощения выражения $(a^5)^2 \cdot a$ необходимо использовать свойства степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.

Теперь выражение имеет вид $a^{10} \cdot a$. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учитываем, что $a$ можно записать как $a^1$.

$a^{10} \cdot a^1 = a^{10+1} = a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$

2) Для выражения $a^3 \cdot a^8$ применяется правило умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$

3) В выражении $a \cdot a^2 \cdot a^3$ первый множитель $a$ имеет степень 1, то есть $a = a^1$. Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием, складывая все показатели.

$a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 = a^{1+2+3} = a^6$.

Ответ: $a^6$

4) В выражении $((a^2)^8)^4$ используется правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ последовательно. При многократном возведении степени в степень их показатели перемножаются.

$((a^2)^8)^4 = a^{2 \cdot 8 \cdot 4} = a^{64}$.

Ответ: $a^{64}$

5) Для упрощения выражения $(a^2 \cdot a^8)^2$ сначала выполним действие в скобках, используя правило умножения степеней: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a^2 \cdot a^8 = a^{2+8} = a^{10}$.

Теперь возведем результат в степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$.

Ответ: $a^{20}$

6) Упростим выражение $a^2 \cdot (a^3)^4 \cdot a$ по шагам. Сначала возведем степень в степень: $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$.

Выражение примет вид: $a^2 \cdot a^{12} \cdot a$.

Теперь, используя правило умножения степеней и помня, что $a = a^1$, сложим все показатели.

$a^2 \cdot a^{12} \cdot a^1 = a^{2+12+1} = a^{15}$.

Ответ: $a^{15}$