Вопросы, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В Древнем Вавилоне применялись таблицы квадратов и кубов чисел. Индийские ученые умели выполнять действия со степенями с показателем до 9. В трудах самаркандского ученого аль-Каши (XIV-XV) использовалось понятие $a^0=1$, где $a \neq 0$. Французский математик Рене Декарт (1596-1650) в своем сочинении «Геометрия» применял обозначения $a^2, a^3, \dots$

1. Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

2. Сформулируйте правило возведения в степень частного.

3. Сформулируйте правило возведения в степень степени.

4. Докажите формулы (3), (5), (6).

а) Начертите три прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см, 2 см и 3 см, 8 см и 12 см. Найдите площадь каждого из них и сравните полученные результаты. Сделайте вывод и обоснуйте его.

б) Даны два параллелепипеда с ребрами 2 см, 3 см, 4 см и 4 см, 6 см, 8 см. 1) Найдите площади полных поверхностей и объемы этих параллелепипедов; 3) сравните объемы; 4) сделайте вывод и обоснуйте его.

1. Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить.

В виде формулы это правило записывается так: $(ab)^n = a^n b^n$.

Ответ: Чтобы возвести произведение в степень, достаточно каждый множитель возвести в эту степень и полученные результаты перемножить.

2. Сформулируйте правило возведения в степень частного.

Чтобы возвести частное (дробь) в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель, и первый результат разделить на второй.

В виде формулы: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, где $b \ne 0$.

Ответ: Чтобы возвести частное в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности, а затем первый результат разделить на второй.

3. Сформулируйте правило возведения в степень степени.

Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить.

В виде формулы: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Ответ: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

4. Докажите формулы (3), (5), (6).

Предположим, что формулы (3), (5) и (6) соответствуют правилам, сформулированным в пунктах 1, 2 и 3.

Доказательство формулы (3): $(ab)^n = a^n b^n$

По определению степени с натуральным показателем $n$ имеем:

$(ab)^n = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot \ldots \cdot (ab)}_{n \text{ множителей}}$

На основании переместительного и сочетательного законов умножения можно сгруппировать множители $a$ и $b$ отдельно:

$\underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{n \text{ множителей}} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot \ldots \cdot b)}_{n \text{ множителей}} = a^n \cdot b^n$.

Что и требовалось доказать.

Доказательство формулы (5): $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

По определению степени и правилу умножения дробей:

$(\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ множителей}} = \frac{\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ множителей}}} = \frac{a^n}{b^n}$.

Что и требовалось доказать.

Доказательство формулы (6): $(a^m)^n = a^{mn}$

По определению степени и правилу умножения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$):

$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ множителей}} = a^{\underbrace{m+m+\ldots+m}_{n \text{ слагаемых}}} = a^{m \cdot n}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательства приведены выше. Они основаны на определении степени с натуральным показателем и свойствах умножения чисел.

а) Вычислим площади трех заданных прямоугольников.

1. Прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см:

Площадь $S_1 = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

2. Прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см:

Площадь $S_2 = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

3. Прямоугольник со сторонами 8 см и 12 см:

Площадь $S_3 = 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

Сравнение и вывод:

Все три прямоугольника являются подобными, так как отношения их соответствующих сторон равны. Например, для первого и второго прямоугольников $\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2$. Коэффициент подобия $k=2$.

Сравним отношение их площадей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{24}{6} = 4$. Заметим, что $4 = 2^2 = k^2$.

Аналогично, стороны третьего прямоугольника в 2 раза больше сторон первого ($k=2$), а его площадь в $\frac{S_3}{S_1} = \frac{96}{24} = 4 = 2^2$ раза больше.

Вывод: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Обоснование: Если прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, его площадь $S = ab$. Подобный ему прямоугольник с коэффициентом подобия $k$ будет иметь стороны $ka$ и $kb$, а его площадь $S' = (ka)(kb) = k^2ab = k^2S$. Таким образом, $\frac{S'}{S} = k^2$.

Ответ: Площади прямоугольников равны 24 см², 6 см² и 96 см². Вывод: при изменении линейных размеров подобных фигур в $k$ раз, их площадь изменяется в $k^2$ раз.

б) Даны два прямоугольных параллелепипеда:

П1 с ребрами $a_1=2$ см, $b_1=3$ см, $c_1=4$ см.

П2 с ребрами $a_2=4$ см, $b_2=6$ см, $c_2=8$ см.

1) Найдем площади полных поверхностей и объемы.

Для первого параллелепипеда (П1):

Объем $V_1 = a_1 b_1 c_1 = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \text{ см}^3$.

Площадь полной поверхности $S_1 = 2(a_1b_1 + a_1c_1 + b_1c_1) = 2(2\cdot3 + 2\cdot4 + 3\cdot4) = 2(6 + 8 + 12) = 52 \text{ см}^2$.

Для второго параллелепипеда (П2):

Объем $V_2 = a_2 b_2 c_2 = 4 \cdot 6 \cdot 8 = 192 \text{ см}^3$.

Площадь полной поверхности $S_2 = 2(a_2b_2 + a_2c_2 + b_2c_2) = 2(4\cdot6 + 4\cdot8 + 6\cdot8) = 2(24 + 32 + 48) = 208 \text{ см}^2$.

3) Сравним объемы.

Отношение объемов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{192}{24} = 8$.

Объем второго параллелепипеда в 8 раз больше объема первого.

4) Сделаем вывод и обоснуем его.

Вывод: Данные параллелепипеды подобны. Коэффициент подобия $k=2$, так как каждое ребро второго параллелепипеда в 2 раза больше соответствующего ребра первого ($\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$). Отношение площадей их поверхностей равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$), а отношение объемов равно кубу коэффициента подобия ($k^3$).

Обоснование:

- Отношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{208}{52} = 4$. Это равно $2^2$, то есть $k^2$.

- Отношение объемов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{192}{24} = 8$. Это равно $2^3$, то есть $k^3$.

Это иллюстрирует общее свойство подобных тел: если линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, то площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз, а объем — в $k^3$ раз.

Ответ: 1) Для первого параллелепипеда: $V_1=24 \text{ см}^3, S_1=52 \text{ см}^2$. Для второго: $V_2=192 \text{ см}^3, S_2=208 \text{ см}^2$. 3) Объем второго параллелепипеда в 8 раз больше первого. 4) Вывод: для подобных тел с коэффициентом подобия $k$ отношение площадей поверхностей равно $k^2$, а отношение объемов равно $k^3$.