Номер 1.79, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.79. Вычислите:

1) $ \frac{2^5 \cdot (2^3)^3}{2^{13}} $

2) $ \frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{20}} $

3) $ \frac{(5^5)^2}{25 \cdot 5^6} $

4) $ \frac{81 \cdot 3^6}{(3^4)^3} $

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойствами степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Сначала упростим числитель дроби:

$2^5 \cdot (2^8)^3 = 2^5 \cdot 2^{8 \cdot 3} = 2^5 \cdot 2^{24} = 2^{5+24} = 2^{29}$.

Теперь всё выражение имеет вид:

$\frac{2^{29}}{2^{13}} = 2^{29-13} = 2^{16}$.

Вычислим полученное значение:

$2^{16} = 65536$.

Ответ: $65536$.

2) Используем те же свойства степеней для упрощения выражения.

Упростим числитель:

$(5^8)^2 \cdot 5^7 = 5^{8 \cdot 2} \cdot 5^7 = 5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{5^{23}}{5^{20}} = 5^{23-20} = 5^3$.

Вычислим значение:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Ответ: $125$.

3) Для упрощения этого выражения представим число $25$ в знаменателе как степень числа $5$.

$25 = 5^2$.

Упростим числитель: $(5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}$.

Упростим знаменатель: $25 \cdot 5^6 = 5^2 \cdot 5^6 = 5^{2+6} = 5^8$.

Теперь выполним деление:

$\frac{5^{10}}{5^8} = 5^{10-8} = 5^2$.

Вычислим значение:

$5^2 = 25$.

Ответ: $25$.

4) В этом выражении представим число $81$ как степень числа $3$.

$81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Упростим числитель:

$81 \cdot 3^6 = 3^4 \cdot 3^6 = 3^{4+6} = 3^{10}$.

Упростим знаменатель:

$(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{3^{10}}{3^{12}} = 3^{10-12} = 3^{-2}$.

По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.