Номер 1.86, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.86. Какой цифрой оканчивается число $3^{4k}$, где $\text{k}$ — некоторое натуральное число?

Для того чтобы найти последнюю цифру числа $3^{4k}$, необходимо проанализировать закономерность, по которой изменяются последние цифры в степенях числа 3. Рассмотрим первые несколько степеней:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)

$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)

$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Как видно, последние цифры степеней числа 3 повторяются циклически с периодом 4. Последовательность последних цифр: 3, 9, 7, 1.

В выражении $3^{4k}$ показатель степени равен $4k$. Поскольку $k$ — натуральное число ($k=1, 2, 3, \ldots$), произведение $4k$ всегда будет кратно 4. Это означает, что показатель степени всегда соответствует концу цикла из 4 цифр. Таким образом, последняя цифра числа $3^{4k}$ будет такой же, как и у $3^4$, то есть 1.

Альтернативный способ рассуждений заключается в использовании свойства степеней: $a^{mn} = (a^m)^n$. Преобразуем исходное выражение:

$3^{4k} = (3^4)^k$.

Так как $3^4 = 81$, то получаем $81^k$.

Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1 (например, $81^1 = 81$, $81^2 = 6561$ и т.д.). Следовательно, при любом натуральном $k$, число $81^k$ оканчивается на 1.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1