Номер 1.98, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.98. Представьте выражение в виде степени с основанием 2:

1) $8 \cdot 2^{-4};$

2) ${(2^{-1})}^5 : 16^2;$

3) $4^{-2} : 2^{-6};$

4) $16^3 : {(4^{-2})}^{-3}.$

1) Для того чтобы представить выражение $8 \cdot 2^{-4}$ в виде степени с основанием 2, сначала представим число 8 как степень двойки.

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$8 \cdot 2^{-4} = 2^3 \cdot 2^{-4}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^3 \cdot 2^{-4} = 2^{3+(-4)} = 2^{3-4} = 2^{-1}$.

Ответ: $2^{-1}$.

2) Рассмотрим выражение $(2^{-1})^5 : 16^2$. Сначала упростим каждую часть выражения, приведя ее к основанию 2.

Для первой части воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{-1})^5 = 2^{-1 \cdot 5} = 2^{-5}$.

Теперь представим число 16 как степень двойки:

$16 = 2^4$.

Тогда $16^2 = (2^4)^2$. Снова применяем свойство возведения степени в степень:

$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $2^{-5} : 2^8$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^{-5} : 2^8 = 2^{-5 - 8} = 2^{-13}$.

Ответ: $2^{-13}$.

3) Рассмотрим выражение $4^{-2} : 2^{-6}$. Приведем все степени к основанию 2.

Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

Тогда $4^{-2} = (2^2)^{-2}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^{-2} = 2^{2 \cdot (-2)} = 2^{-4}$.

Теперь выражение выглядит так: $2^{-4} : 2^{-6}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$2^{-4} : 2^{-6} = 2^{-4 - (-6)} = 2^{-4+6} = 2^2$.

Ответ: $2^2$.

4) Рассмотрим выражение $16^3 : (4^{-2})^{-3}$. Приведем все к основанию 2.

Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.

Тогда $16^3 = (2^4)^3$. По свойству возведения степени в степень:

$(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Теперь упростим вторую часть выражения $(4^{-2})^{-3}$. Сначала представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$(4^{-2})^{-3} = ((2^2)^{-2})^{-3}$.

Последовательно применим свойство возведения степени в степень:

$(2^2)^{-2} = 2^{2 \cdot (-2)} = 2^{-4}$.

Теперь $(2^{-4})^{-3} = 2^{-4 \cdot (-3)} = 2^{12}$.

Исходное выражение принимает вид: $2^{12} : 2^{12}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$2^{12} : 2^{12} = 2^{12-12} = 2^0$.

Ответ: $2^0$.