Номер 1.102, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.102. Сравните с нулем:

1) $ (-0.001)^6 $;

2) $ \left(-\frac{1}{25}\right)^{-8} $;

3) $ (-5)^4 $;

4) $ (-2)^{-8} $.

1) Чтобы сравнить выражение $(-0,001)^6$ с нулем, нужно определить его знак. Основание степени, $-0,001$, является отрицательным числом. Показатель степени, $6$, является четным числом. При возведении любого отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. Следовательно, значение выражения больше нуля.

Ответ: $(-0,001)^6 > 0$.

2) Чтобы сравнить выражение $(-\frac{1}{25})^{-8}$ с нулем, преобразуем его, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Получим: $(-\frac{1}{25})^{-8} = \frac{1}{(-\frac{1}{25})^8}$. Теперь рассмотрим знаменатель дроби $(-\frac{1}{25})^8$. Основание степени, $-\frac{1}{25}$, — отрицательное число, а показатель степени, $8$, — четное число. Поскольку отрицательное число в четной степени всегда положительно, знаменатель $(-\frac{1}{25})^8$ является положительным числом. Деление положительного числа ($1$) на другое положительное число дает в результате положительное число. Значит, значение выражения больше нуля.

Альтернативный способ: использовать свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Тогда $(-\frac{1}{25})^{-8} = (-25)^8$. Так как основание $-25$ возводится в четную степень $8$, результат будет положительным.

Ответ: $(-\frac{1}{25})^{-8} > 0$.

3) В выражении $(-5)^4$ основание степени, $-5$, является отрицательным числом. Показатель степени, $4$, является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен. Таким образом, значение выражения больше нуля.

Ответ: $(-5)^4 > 0$.

4) Для сравнения выражения $(-2)^{-8}$ с нулем, применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Получаем: $(-2)^{-8} = \frac{1}{(-2)^8}$. Рассмотрим знаменатель полученной дроби: $(-2)^8$. Основание степени $-2$ — отрицательное, а показатель $8$ — четный. Следовательно, знаменатель $(-2)^8$ будет положительным числом. Так как мы делим положительное число $1$ на положительное число, результат будет положительным. Значит, значение выражения больше нуля.

Ответ: $(-2)^{-8} > 0$.