Номер 1.106, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.106. Представьте выражение $a^{20}$, где $a \neq 0$, в виде степени с основанием:

1) $a^4$;

2) $a^{-5}$;

3) $\frac{1}{a^2}$;

4) $\frac{1}{a^{-4}}$;

1) Чтобы представить выражение $a^{20}$ в виде степени с основанием $a^4$, нам нужно найти такой показатель степени $x$, что $(a^4)^x = a^{20}$.

Согласно свойству возведения степени в степень, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применяя это свойство, получаем:

$a^{4 \cdot x} = a^{20}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4x = 20$

$x = \frac{20}{4}$

$x = 5$

Таким образом, выражение $a^{20}$ можно представить как $(a^4)^5$.

Ответ: $(a^4)^5$.

2) Чтобы представить выражение $a^{20}$ в виде степени с основанием $a^{-5}$, найдем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $(a^{-5})^x = a^{20}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$a^{-5 \cdot x} = a^{20}$

Приравниваем показатели степеней:

$-5x = 20$

$x = \frac{20}{-5}$

$x = -4$

Следовательно, выражение $a^{20}$ можно представить как $(a^{-5})^{-4}$.

Ответ: $(a^{-5})^{-4}$.

3) Чтобы представить выражение $a^{20}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{a^2}$, сначала преобразуем основание, используя свойство отрицательного показателя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Основание $\frac{1}{a^2}$ можно записать как $a^{-2}$.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти такой показатель $x$, что $(a^{-2})^x = a^{20}$.

$a^{-2 \cdot x} = a^{20}$

Приравниваем показатели:

$-2x = 20$

$x = \frac{20}{-2}$

$x = -10$

Значит, $a^{20} = (a^{-2})^{-10}$, что равносильно $(\frac{1}{a^2})^{-10}$.

Ответ: $(\frac{1}{a^2})^{-10}$.

4) Чтобы представить выражение $a^{20}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{a^{-4}}$, сначала преобразуем основание. Используя свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, получаем:

Основание $\frac{1}{a^{-4}}$ можно записать как $a^4$.

Теперь задача сводится к поиску показателя $x$, для которого $(a^4)^x = a^{20}$. Эта задача аналогична пункту 1.

$a^{4 \cdot x} = a^{20}$

Приравниваем показатели:

$4x = 20$

$x = 5$

Таким образом, $a^{20} = (a^4)^5$, что равносильно $(\frac{1}{a^{-4}})^5$.

Ответ: $(\frac{1}{a^{-4}})^5$.