Номер 1.108, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.108. Представьте выражение в виде степени с основанием 10:

1) $100^n$;

2) $0,01 \cdot 100^{n+3}$;

3) $0,01^n : 10^{2-2n}$.

1) Чтобы представить выражение $100^n$ в виде степени с основанием 10, необходимо сначала представить число 100 как степень десяти. Поскольку $100 = 10^2$, мы можем переписать исходное выражение следующим образом: $100^n = (10^2)^n$. Далее, используя свойство возведения степени в степень, согласно которому $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы перемножаем показатели: $(10^2)^n = 10^{2 \cdot n} = 10^{2n}$.

Ответ: $10^{2n}$

2) Рассмотрим выражение $0,01 \cdot 100^{n+3}$. Представим каждый множитель в виде степени с основанием 10. Число $0,01$ равно $1/100$, что можно записать как $10^{-2}$. Число $100$ равно $10^2$. Подставим эти значения в исходное выражение: $0,01 \cdot 100^{n+3} = 10^{-2} \cdot (10^2)^{n+3}$. Сначала упростим второй множитель, используя свойство возведения степени в степень: $(10^2)^{n+3} = 10^{2 \cdot (n+3)} = 10^{2n+6}$. Теперь наше выражение выглядит так: $10^{-2} \cdot 10^{2n+6}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $10^{-2 + (2n+6)} = 10^{2n+4}$.

Ответ: $10^{2n+4}$

3) Рассмотрим выражение $0,01^n : 10^{2-2n}$. Сначала представим число $0,01$ как степень числа 10. Поскольку $0,01 = 10^{-2}$, мы можем подставить это значение в выражение: $(10^{-2})^n : 10^{2-2n}$. Упростим делимое, используя свойство возведения степени в степень: $(10^{-2})^n = 10^{-2n}$. Теперь выражение имеет вид: $10^{-2n} : 10^{2-2n}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$): $10^{-2n - (2-2n)}$. Раскроем скобки в показателе: $10^{-2n - 2 + 2n}$. После упрощения показателя (члены $-2n$ и $+2n$ взаимно уничтожаются) остается $-2$. Таким образом, получаем $10^{-2}$.

Ответ: $10^{-2}$