Номер 1.109, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.109. Решите уравнение:

1) $5x^{-1} - 6 = 0$;

2) $3+10x^{-1} = 0$;

3) $(5-x^{-1})^{-1} = 2^{-2}$.

1) Дано уравнение $5x^{-1} - 6 = 0$.

По определению степени с отрицательным показателем $x^{-1} = \frac{1}{x}$. При этом область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ — все числа, кроме нуля, то есть $x \neq 0$.

Подставим это в уравнение:

$5 \cdot \frac{1}{x} - 6 = 0$

$\frac{5}{x} - 6 = 0$

Перенесем $-6$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{5}{x} = 6$

Чтобы найти $x$, можно воспользоваться свойством пропорции, представив 6 как $\frac{6}{1}$, или умножить обе части на $x$ (так как мы уже определили, что $x \neq 0$):

$5 = 6x$

Теперь разделим обе части на 6:

$x = \frac{5}{6}$

Найденное значение не равно нулю, следовательно, оно является корнем уравнения.

Ответ: $x = \frac{5}{6}$.

2) Дано уравнение $3 + 10x^{-1} = 0$.

Используя определение $x^{-1} = \frac{1}{x}$ (при ОДЗ $x \neq 0$), перепишем уравнение:

$3 + 10 \cdot \frac{1}{x} = 0$

$3 + \frac{10}{x} = 0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{10}{x} = -3$

Умножим обе части на $x$:

$10 = -3x$

Разделим обе части на -3:

$x = \frac{10}{-3} = -\frac{10}{3}$

Корень не равен нулю, что соответствует ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{10}{3}$.

3) Дано уравнение $(5 - x^{-1})^{-1} = 2^{-2}$.

Прежде всего, определим область допустимых значений. Во-первых, из-за выражения $x^{-1}$, $x \neq 0$. Во-вторых, основание степени в левой части не должно быть равно нулю, то есть $5 - x^{-1} \neq 0$.

Теперь преобразуем обе части уравнения, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Левая часть: $(5 - x^{-1})^{-1} = \frac{1}{5 - x^{-1}}$.

Правая часть: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{5 - x^{-1}} = \frac{1}{4}$

Поскольку дроби равны и их числители равны (оба равны 1), их знаменатели также должны быть равны:

$5 - x^{-1} = 4$

Заменим $x^{-1}$ на $\frac{1}{x}$:

$5 - \frac{1}{x} = 4$

Вычтем 5 из обеих частей:

$-\frac{1}{x} = 4 - 5$

$-\frac{1}{x} = -1$

Умножим обе части на -1:

$\frac{1}{x} = 1$

Отсюда следует, что $x=1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $x=1 \neq 0$, условие выполнено. Проверим второе условие: $5 - x^{-1} = 5 - 1^{-1} = 5 - 1 = 4$. Так как $4 \neq 0$, второе условие также выполнено. Значит, корень подходит.

Ответ: $x = 1$.