Номер 1.103, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.103. Сравните:

1) $2^{-5}$ и $2^{-4}$;

2) $7^{-5}$ и $7^{-3}$;

3) $(-3)^{-3}$ и $3^{-3}$;

4) $(0,2)^{-3}$ и $(0,5)^{-3}$;

5) $(0,3)^{-3}$ и $(0,3)^{-4}$;

6) $6^{-2}$ и $(-6)^{-2}$.

1) Сравним степени $2^{-5}$ и $2^{-4}$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), то показательная функция с таким основанием является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени.

Сравним показатели степеней: $-5 < -4$.

Следовательно, $2^{-5} < 2^{-4}$.

Можно также вычислить значения выражений: $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$; $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$. Сравнивая дроби $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{16}$, получаем, что $\frac{1}{32} < \frac{1}{16}$, так как у дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

Ответ: $2^{-5} < 2^{-4}$.

2) Сравним степени $7^{-5}$ и $7^{-3}$.

Основание степени $a=7$ больше единицы ($7 > 1$), поэтому показательная функция $y=7^x$ является возрастающей. Для возрастающей функции большему показателю степени соответствует большее значение степени.

Сравним показатели степеней: $-5 < -3$.

Следовательно, $7^{-5} < 7^{-3}$.

Проверим, преобразовав выражения: $7^{-5} = \frac{1}{7^5}$; $7^{-3} = \frac{1}{7^3}$. Так как $7^5 > 7^3$, то знаменатель первой дроби больше, а значит, сама дробь меньше: $\frac{1}{7^5} < \frac{1}{7^3}$.

Ответ: $7^{-5} < 7^{-3}$.

3) Сравним числа $(-3)^{-3}$ и $3^{-3}$.

Преобразуем первое выражение. Так как показатель степени $-3$ является нечетным числом, то: $(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.

Преобразуем второе выражение: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Теперь сравним полученные значения: $-\frac{1}{27}$ и $\frac{1}{27}$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $-\frac{1}{27} < \frac{1}{27}$.

Ответ: $(-3)^{-3} < 3^{-3}$.

4) Сравним числа $(0,2)^{-3}$ и $(0,5)^{-3}$.

Показатели степеней у обоих чисел одинаковы и равны $-3$. Рассмотрим функцию $y=x^{-3}$ для $x>0$. Эта функция является убывающей. Это означает, что для положительных оснований, чем меньше основание, тем больше значение степени.

Сравним основания: $0,2 < 0,5$.

Так как функция $y=x^{-3}$ убывающая, то $(0,2)^{-3} > (0,5)^{-3}$.

Проверим это вычислением, представив десятичные дроби в виде обыкновенных: $(0,2)^{-3} = (\frac{2}{10})^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$. $(0,5)^{-3} = (\frac{5}{10})^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$. Так как $125 > 8$, то и $(0,2)^{-3} > (0,5)^{-3}$.

Ответ: $(0,2)^{-3} > (0,5)^{-3}$.

5) Сравним степени $(0,3)^{-3}$ и $(0,3)^{-4}$.

Основание степени $a=0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, то есть $0 < 0,3 < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение самой степени.

Сравним показатели степеней: $-3 > -4$.

Так как функция $y=(0,3)^x$ убывающая, то $(0,3)^{-3} < (0,3)^{-4}$.

Проверим вычислением: $(0,3)^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^{3} = \frac{1000}{27}$. $(0,3)^{-4} = (\frac{3}{10})^{-4} = (\frac{10}{3})^{4} = \frac{10000}{81}$. Сравним дроби $\frac{1000}{27}$ и $\frac{10000}{81}$. Приведем их к общему знаменателю $81$: $\frac{1000}{27} = \frac{1000 \cdot 3}{27 \cdot 3} = \frac{3000}{81}$. Так как $\frac{3000}{81} < \frac{10000}{81}$, то $(0,3)^{-3} < (0,3)^{-4}$.

Ответ: $(0,3)^{-3} < (0,3)^{-4}$.

6) Сравним числа $6^{-2}$ и $(-6)^{-2}$.

Преобразуем первое выражение: $6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.

Преобразуем второе выражение. Так как показатель степени $-2$ является четным числом, то при возведении отрицательного основания в четную степень результат будет положительным: $(-6)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2} = \frac{1}{36}$.

Сравнивая полученные значения $\frac{1}{36}$ и $\frac{1}{36}$, мы видим, что они равны.

Ответ: $6^{-2} = (-6)^{-2}$.