Номер 1.104, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.104. Представьте выражение в виде степени с основанием 3:

1) $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n}, n \in Z;$

2) $(3^m)^2 \cdot (3^{-3})^m, m \in Z;$

3) $81^m : 3^{4m-2}, m \in Z;$

4) $(-3)^{4n} : 27^n, n \in Z.$

1) Чтобы представить выражение $3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n}$ в виде степени с основанием 3, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$. При умножении степеней их показатели складываются.

$3^n \cdot 3^{n+1} \cdot 3^{1-n} = 3^{n + (n+1) + (1-n)}$

Теперь сложим показатели в степени:

$n + n + 1 + 1 - n = (n+n-n) + (1+1) = n + 2$

Следовательно, итоговое выражение имеет вид $3^{n+2}$.

Ответ: $3^{n+2}$

2) В выражении $(3^m)^2 \cdot (3^{-3})^m$ сначала применим свойство возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ к каждому множителю.

Для первого множителя: $(3^m)^2 = 3^{m \cdot 2} = 3^{2m}$.

Для второго множителя: $(3^{-3})^m = 3^{-3 \cdot m} = 3^{-3m}$.

Теперь у нас есть произведение двух степеней с основанием 3: $3^{2m} \cdot 3^{-3m}$.

Используем свойство умножения степеней $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$:

$3^{2m + (-3m)} = 3^{2m - 3m} = 3^{-m}$.

Ответ: $3^{-m}$

3) В выражении $81^m : 3^{4m-2}$ первым шагом представим число 81 как степень с основанием 3. Так как $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$, мы можем заменить 81 на $3^4$.

Выражение примет вид: $(3^4)^m : 3^{4m-2}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ к первому члену: $(3^4)^m = 3^{4 \cdot m} = 3^{4m}$.

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $a^p : a^q = a^{p-q}$:

$3^{4m} : 3^{4m-2} = 3^{4m - (4m-2)} = 3^{4m - 4m + 2} = 3^2$.

Ответ: $3^2$

4) Рассмотрим выражение $(-3)^{4n} : 27^n$.

Преобразуем делимое $(-3)^{4n}$. Поскольку $n$ — целое число ($n \in Z$), показатель степени $4n$ всегда является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен. Таким образом, $(-3)^{4n} = 3^{4n}$.

Теперь преобразуем делитель $27^n$. Представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Тогда $27^n = (3^3)^n$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$, получаем $3^{3n}$.

Теперь выражение имеет вид $3^{4n} : 3^{3n}$.

Выполним деление по правилу $a^p : a^q = a^{p-q}$:

$3^{4n - 3n} = 3^n$.

Ответ: $3^n$