Номер 1.107, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.107. Упростите выражение:

1) $(0,25a^{-4}y^{-3})^2 \cdot \left(\frac{a^{-3}}{4y^2}\right)^{-3};$

2) $\left(\frac{x^{-3}y^4}{9}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{x^{-2}y^3}\right)^{-3};$

3) $\left(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2}\right)^{-2} : (5m^2n^8k)^3;$

4) $\left(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}}\right)^{-2} : \left(\frac{a^2b^{-3}}{6c^4}\right)^3.$

1) Упростим выражение $(0,25a^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3}$.

Сначала преобразуем первый множитель, учитывая, что $0,25 = \frac{1}{4}$: $(0,25a^{-4}y^{-3})^2 = (\frac{1}{4}a^{-4}y^{-3})^2 = (\frac{1}{4})^2 \cdot (a^{-4})^2 \cdot (y^{-3})^2 = \frac{1}{16}a^{-8}y^{-6}$.

Теперь преобразуем второй множитель, используя свойство степени $(\frac{x}{z})^{-n} = (\frac{z}{x})^n$: $(\frac{a^{-3}}{4y^2})^{-3} = (\frac{4y^2}{a^{-3}})^{3} = \frac{(4y^2)^3}{(a^{-3})^3} = \frac{4^3 \cdot (y^2)^3}{a^{-3 \cdot 3}} = \frac{64y^6}{a^{-9}}$.

Перемножим полученные выражения, используя правила действий со степенями $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{1}{16}a^{-8}y^{-6} \cdot \frac{64y^6}{a^{-9}} = \frac{64}{16} \cdot \frac{a^{-8}}{a^{-9}} \cdot (y^{-6} \cdot y^6) = 4 \cdot a^{-8 - (-9)} \cdot y^{-6+6} = 4 \cdot a^{1} \cdot y^{0} = 4a$.

Ответ: $4a$.

2) Упростим выражение $(\frac{x^{-3}y^4}{9})^{-2} \cdot (\frac{3}{x^{-2}y^3})^{-3}$.

Преобразуем первый множитель: $(\frac{x^{-3}y^4}{9})^{-2} = (\frac{9}{x^{-3}y^4})^{2} = \frac{9^2}{(x^{-3})^2(y^4)^2} = \frac{81}{x^{-6}y^8}$.

Преобразуем второй множитель: $(\frac{3}{x^{-2}y^3})^{-3} = (\frac{x^{-2}y^3}{3})^{3} = \frac{(x^{-2})^3(y^3)^3}{3^3} = \frac{x^{-6}y^9}{27}$.

Перемножим полученные выражения: $\frac{81}{x^{-6}y^8} \cdot \frac{x^{-6}y^9}{27} = \frac{81}{27} \cdot \frac{x^{-6}}{x^{-6}} \cdot \frac{y^9}{y^8} = 3 \cdot x^{-6 - (-6)} \cdot y^{9-8} = 3 \cdot x^{0} \cdot y^{1} = 3y$.

Ответ: $3y$.

3) Упростим выражение $(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2})^{-2} : (5m^2n^3k)^3$.

Преобразуем делимое: $(\frac{m^{-4}}{10n^5k^2})^{-2} = (\frac{10n^5k^2}{m^{-4}})^2 = \frac{(10n^5k^2)^2}{(m^{-4})^2} = \frac{10^2(n^5)^2(k^2)^2}{m^{-8}} = \frac{100n^{10}k^4}{m^{-8}}$.

Преобразуем делитель: $(5m^2n^3k)^3 = 5^3(m^2)^3(n^3)^3k^3 = 125m^6n^9k^3$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $\frac{100n^{10}k^4}{m^{-8}} : (125m^6n^9k^3) = \frac{100n^{10}k^4}{m^{-8}} \cdot \frac{1}{125m^6n^9k^3} = \frac{100}{125} \cdot \frac{1}{m^{-8}m^6} \cdot \frac{n^{10}}{n^9} \cdot \frac{k^4}{k^3}$.

Упростим коэффициенты и степени: $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{m^{-2}} \cdot n^{10-9} \cdot k^{4-3} = \frac{4}{5} \cdot m^2 \cdot n^1 \cdot k^1 = \frac{4}{5}m^2nk$.

Ответ: $\frac{4}{5}m^2nk$.

4) Упростим выражение $(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}})^{-2} : (\frac{a^2b^{-3}}{6c^4})^3$.

Преобразуем делимое: $(\frac{9c^5}{a^3b^{-2}})^{-2} = (\frac{a^3b^{-2}}{9c^5})^2 = \frac{(a^3)^2(b^{-2})^2}{9^2(c^5)^2} = \frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}}$.

Преобразуем делитель: $(\frac{a^2b^{-3}}{6c^4})^3 = \frac{(a^2)^3(b^{-3})^3}{6^3(c^4)^3} = \frac{a^6b^{-9}}{216c^{12}}$.

Выполним деление: $\frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}} : \frac{a^6b^{-9}}{216c^{12}} = \frac{a^6b^{-4}}{81c^{10}} \cdot \frac{216c^{12}}{a^6b^{-9}} = \frac{216}{81} \cdot \frac{a^6}{a^6} \cdot \frac{b^{-4}}{b^{-9}} \cdot \frac{c^{12}}{c^{10}}$.

Упростим коэффициенты и степени ( $\frac{216}{81} = \frac{8 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{8}{3}$ ): $\frac{8}{3} \cdot a^{6-6} \cdot b^{-4-(-9)} \cdot c^{12-10} = \frac{8}{3} \cdot a^0 \cdot b^5 \cdot c^2 = \frac{8}{3}b^5c^2$.

Ответ: $\frac{8}{3}b^5c^2$.