Номер 1.97, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.97. Представьте степень в виде произведения:

1) $(x^{-1} \cdot y^{-2})^{-2}$;

2) $(\frac{1}{2} a^{-3} b^3)^{-2}$;

3) $(0,25m^{-2} n^2)^{-3}$;

4) $(a^3 \cdot b^{-1})^2$;

5) $(-3p^3 \cdot q^{-1})^2$;

6) $(\frac{1}{3} x^{-3} y^2)^3$.

1) Чтобы представить степень в виде произведения, необходимо каждый множитель в скобках возвести в эту степень, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. Затем для каждого множителя, который уже является степенью, применить свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(x^{-1}y^{-2})^{-2} = (x^{-1})^{-2} \cdot (y^{-2})^{-2} = x^{(-1) \cdot (-2)}y^{(-2) \cdot (-2)} = x^2y^4$.

Ответ: $x^2y^4$.

2) Применяем те же свойства степеней. Числовой коэффициент также возводится в степень.

$(\frac{1}{2}a^{-3}b^8)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^8)^{-2}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $(\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^{(-1)\cdot(-2)} = 2^2 = 4$.

Для остальных множителей: $(a^{-3})^{-2} = a^{(-3)\cdot(-2)} = a^6$ и $(b^8)^{-2} = b^{8\cdot(-2)} = b^{-16}$.

Собираем все вместе: $4a^6b^{-16}$.

Ответ: $4a^6b^{-16}$.

3) Сначала представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$(0,25m^{-2}n^2)^{-3} = (\frac{1}{4}m^{-2}n^2)^{-3} = (\frac{1}{4})^{-3} \cdot (m^{-2})^{-3} \cdot (n^2)^{-3}$.

Вычисляем каждый множитель: $(\frac{1}{4})^{-3} = (4^{-1})^{-3} = 4^3 = 64$.

$(m^{-2})^{-3} = m^{(-2)\cdot(-3)} = m^6$.

$(n^2)^{-3} = n^{2\cdot(-3)} = n^{-6}$.

Объединяем множители: $64m^6n^{-6}$.

Ответ: $64m^6n^{-6}$.

4) Используем свойство возведения произведения в степень и свойство возведения степени в степень:

$(a^3b^{-1})^2 = (a^3)^2 \cdot (b^{-1})^2 = a^{3 \cdot 2}b^{(-1) \cdot 2} = a^6b^{-2}$.

Ответ: $a^6b^{-2}$.

5) Возводим каждый множитель в скобках в квадрат. Не забываем, что отрицательное число в четной степени становится положительным.

$(-3p^3q^{-1})^2 = (-3)^2 \cdot (p^3)^2 \cdot (q^{-1})^2$.

$(-3)^2 = 9$.

$(p^3)^2 = p^{3 \cdot 2} = p^6$.

$(q^{-1})^2 = q^{(-1) \cdot 2} = q^{-2}$.

Результат: $9p^6q^{-2}$.

Ответ: $9p^6q^{-2}$.

6) Возводим каждый множитель в куб:

$(\frac{1}{3}x^{-3}y^2)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (x^{-3})^3 \cdot (y^2)^3$.

Вычисляем каждую часть:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.

$(x^{-3})^3 = x^{(-3) \cdot 3} = x^{-9}$.

$(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$.

Собираем все части вместе: $\frac{1}{27}x^{-9}y^6$.

Ответ: $\frac{1}{27}x^{-9}y^6$.