Вопросы, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Можно ли прибавлять (вычитать) любые числа, записанные в стандартном виде? Приведите пример.

2. При каких условиях можно прибавлять (вычитать) числа, записанные в стандартном виде?

3. Что называется абсолютной погрешностью?

4. Что называется относительной погрешностью?

5. Как можно повысить качество результатов измерений?

6. По какому принципу выбирают количество значащих цифр в записи числа в стандартном виде? Приведите пример.

Измерьте длину и ширину поверхности парты с точностью до 1 мм. Вычислите площадь поверхности парты в $мм^2$. Запишите результат вычисления в стандартном виде, оставляя после запятой 1, 2 и 3 значащие цифры. Для каждого приближенного значения площади, записанного в стандартном виде, найдите абсолютную и относительную погрешности.

1. Можно ли прибавлять (вычитать) любые числа, записанные в стандартном виде? Приведите пример.

Да, можно прибавлять и вычитать любые числа, записанные в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его представление в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Для выполнения сложения или вычитания необходимо сначала привести числа к одному и тому же порядку, то есть сделать так, чтобы показатели степени $n$ у них были одинаковыми. После этого можно сложить или вычесть их мантиссы (числа $a$).

Пример: Сложим числа $4.2 \cdot 10^3$ и $1.57 \cdot 10^4$.

Сначала приведем первое число к тому же порядку, что и второе ($n=4$):

$4.2 \cdot 10^3 = 0.42 \cdot 10^4$.

Теперь выполним сложение:

$0.42 \cdot 10^4 + 1.57 \cdot 10^4 = (0.42 + 1.57) \cdot 10^4 = 1.99 \cdot 10^4$.

Результат $1.99 \cdot 10^4$ записан в стандартном виде, так как $1 \le 1.99 < 10$.

Ответ: Да, можно, предварительно приведя их к одному и тому же показателю степени.

2. При каких условиях можно прибавлять (вычитать) числа, записанные в стандартном виде?

Для того чтобы можно было непосредственно сложить или вычесть мантиссы чисел, записанных в стандартном виде ($a_1 \cdot 10^{n_1}$ и $a_2 \cdot 10^{n_2}$), необходимо, чтобы их порядки (показатели степени) были равны: $n_1 = n_2$. Если это условие не выполняется, одно из чисел преобразуют так, чтобы его показатель степени стал равен показателю степени другого числа, как показано в примере к предыдущему вопросу.

Формула для сложения при равных порядках: $a_1 \cdot 10^n + a_2 \cdot 10^n = (a_1 + a_2) \cdot 10^n$.

Ответ: Складывать и вычитать числа в стандартном виде можно, если их показатели степени (порядки) равны.

3. Что называется абсолютной погрешностью?

Абсолютной погрешностью (или абсолютной ошибкой) приближенного значения называется модуль разности между точным значением величины и её приближенным значением. Если $x$ — точное значение, а $x_a$ — приближенное, то абсолютная погрешность $\Delta x$ вычисляется по формуле:

$\Delta x = |x - x_a|$.

Абсолютная погрешность показывает, насколько велико максимальное отклонение приближенного значения от точного. Она измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

Ответ: Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным и приближенным значением величины.

4. Что называется относительной погрешностью?

Относительной погрешностью (или относительной ошибкой) приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения величины. Если $x$ — точное значение ($x \ne 0$), а $\Delta x$ — абсолютная погрешность, то относительная погрешность $\delta x$ вычисляется по формуле:

$\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{|x - x_a|}{|x|}$.

Относительная погрешность является безразмерной величиной и часто выражается в процентах. Она показывает, какую часть от самого измеряемого значения составляет ошибка, и является лучшей характеристикой качества измерения, чем абсолютная погрешность.

Ответ: Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения величины.

5. Как можно повысить качество результатов измерений?

Качество результатов измерений (их точность и воспроизводимость) можно повысить несколькими способами:

1. Использование более точных измерительных приборов, имеющих меньшую погрешность и более мелкую цену деления шкалы.

2. Проведение многократных измерений одной и той же величины с последующим усреднением результатов (нахождением среднего арифметического). Это помогает уменьшить влияние случайных погрешностей.

3. Контроль и стабилизация условий окружающей среды (температуры, влажности, давления), если они могут повлиять на результат измерения.

4. Совершенствование методики проведения измерений, например, правильное расположение прибора и наблюдателя для устранения ошибки параллакса.

5. Регулярная проверка и калибровка измерительных приборов для устранения систематических погрешностей.

Ответ: Повысить качество измерений можно, используя более точные приборы, повторяя измерения, контролируя условия и совершенствуя методику.

6. По какому принципу выбирают количество значащих цифр в записи числа в стандартном виде? Приведите пример.

Количество значащих цифр в записи числа определяется точностью измерения или исходных данных. Основной принцип: результат вычислений не может быть точнее, чем наименее точное из исходных данных. При умножении и делении результат следует округлять до количества значащих цифр, которое имеет наименее точный из сомножителей (или делимое/делитель).

Запись в стандартном виде позволяет однозначно указать количество значащих цифр. В мантиссе $a$ числа $a \cdot 10^n$ сохраняют все значащие цифры.

Пример: Нужно найти площадь прямоугольника со сторонами, измеренными как $l = 15.4$ см (3 значащие цифры) и $w = 2.8$ см (2 значащие цифры).

$S = 15.4 \cdot 2.8 = 43.12$ см$^2$.

Поскольку наименее точное измерение ($2.8$ см) имеет две значащие цифры, результат следует округлить до двух значащих цифр: $S \approx 43$ см$^2$.

В стандартном виде это будет $4.3 \cdot 10^1$ см$^2$. Если бы результат был, например, 430, и его нужно было записать с двумя значащими цифрами, стандартная форма была бы $4.3 \cdot 10^2$.

Ответ: Количество значащих цифр определяется точностью исходных данных; результат вычислений округляется до наименьшего количества значащих цифр, участвовавших в операции.

Измерьте длину и ширину поверхности парты с точностью до 1 мм. Вычислите площадь поверхности парты в мм². Запишите результат вычисления в стандартном виде, оставляя после запятой 1, 2 и 3 значащие цифры. Для каждого приближенного значения площади, записанного в стандартном виде, найдите абсолютную и относительную погрешности.

Поскольку реальное измерение невозможно, в качестве примера возьмем гипотетические размеры поверхности парты, как если бы они были измерены с точностью до 1 мм:

Длина $l = 1203$ мм

Ширина $w = 615$ мм

1. Вычисление точной площади

Вычислим площадь $S$ как произведение длины на ширину. Это значение будем считать "точным" для последующего расчета погрешностей.

$S = l \cdot w = 1203 \text{ мм} \cdot 615 \text{ мм} = 739845 \text{ мм}^2$.

Запишем точное значение в стандартном виде:

$S = 7.39845 \cdot 10^5 \text{ мм}^2$.

2. Получение приближенных значений и расчет погрешностей

Условие "оставляя после запятой 1, 2 и 3 значащие цифры" является нестандартным. Будем интерпретировать его как создание трех приближенных значений путем записи мантиссы с 1, 2 и 3 цифрами после запятой (округляя по математическим правилам).

Точная мантисса: $7.39845$.

Случай 1: 1 значащая цифра после запятой в мантиссе

Округляем мантиссу $7.39845$ до одного знака после запятой: $7.4$.

Приближенное значение площади $S_1 = 7.4 \cdot 10^5 = 740000 \text{ мм}^2$.

Абсолютная погрешность:

$\Delta S_1 = |S - S_1| = |739845 - 740000| = |-155| = 155 \text{ мм}^2$.

Относительная погрешность:

$\delta S_1 = \frac{\Delta S_1}{S} = \frac{155}{739845} \approx 0.0002095... \approx 0.00021$.

В процентах: $\delta S_1 \approx 0.021\%$.

Случай 2: 2 значащие цифры после запятой в мантиссе

Округляем мантиссу $7.39845$ до двух знаков после запятой: $7.40$.

Приближенное значение площади $S_2 = 7.40 \cdot 10^5 = 740000 \text{ мм}^2$.

Поскольку численное значение $S_2$ совпадает с $S_1$, погрешности будут такими же.

Абсолютная погрешность:

$\Delta S_2 = |S - S_2| = |739845 - 740000| = 155 \text{ мм}^2$.

Относительная погрешность:

$\delta S_2 = \frac{\Delta S_2}{S} = \frac{155}{739845} \approx 0.00021$.

В процентах: $\delta S_2 \approx 0.021\%$.

Случай 3: 3 значащие цифры после запятой в мантиссе

Округляем мантиссу $7.39845$ до трех знаков после запятой: $7.398$.

Приближенное значение площади $S_3 = 7.398 \cdot 10^5 = 739800 \text{ мм}^2$.

Абсолютная погрешность:

$\Delta S_3 = |S - S_3| = |739845 - 739800| = 45 \text{ мм}^2$.

Относительная погрешность:

$\delta S_3 = \frac{\Delta S_3}{S} = \frac{45}{739845} \approx 0.0000608... \approx 0.000061$.

В процентах: $\delta S_3 \approx 0.0061\%$.

Ответ: При гипотетических размерах парты $1203 \times 615$ мм точная площадь $S=739845$ мм$^2$.

1. Для приближения $S_1 = 7.4 \cdot 10^5$ мм$^2$: абсолютная погрешность $\Delta S_1 = 155$ мм$^2$, относительная $\delta S_1 \approx 0.021\%$.

2. для приближения $S_2 = 7.40 \cdot 10^5$ мм$^2$: абсолютная погрешность $\Delta S_2 = 155$ мм$^2$, относительная $\delta S_2 \approx 0.021\%$.

3. для приближения $S_3 = 7.398 \cdot 10^5$ мм$^2$: абсолютная погрешность $\Delta S_3 = 45$ мм$^2$, относительная $\delta S_3 \approx 0.0061\%$.