Номер 1.139, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.139. Запишите формулу общего члена и два следующих члена последовательности:

1) $1, -2, 4, -8, \dots;$

2) $1, 1, \frac{9}{5}, \frac{7}{27}, \dots;$

3) $0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}, \frac{6}{125}, \dots;$

4) $2, 0, 2, 0, \dots;$

1) Рассмотрим последовательность: $1, -2, 4, -8, \dots$.

Это геометрическая прогрессия. Найдем её знаменатель $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-2}{1} = -2$. Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив наши значения, получаем формулу общего члена для данной последовательности: $a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$.

Теперь найдем два следующих члена последовательности, то есть пятый ($a_5$) и шестой ($a_6$):

$a_5 = (-2)^{5-1} = (-2)^4 = 16$.

$a_6 = (-2)^{6-1} = (-2)^5 = -32$.

Ответ: формула общего члена $a_n = (-2)^{n-1}$; два следующих члена: 16 и -32.

2) Рассмотрим последовательность: $1, 1, \frac{9}{5}, \frac{7}{27}, \dots$.

В данной последовательности, по всей видимости, допущена опечатка в третьем члене. Если предположить, что третий член должен быть $\frac{5}{9}$ (дробь перевернута), то последовательность $1, 1, \frac{5}{9}, \frac{7}{27}, \dots$ подчиняется четкой закономерности.

Рассмотрим формулу $a_n = \frac{2n-1}{3^{n-1}}$ и проверим ее для данной последовательности (с учетом исправления):

$a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{3^{1-1}} = \frac{1}{3^0} = 1$. (Верно)

$a_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{3^{2-1}} = \frac{3}{3^1} = 1$. (Верно)

$a_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3^{3-1}} = \frac{5}{3^2} = \frac{5}{9}$. (Соответствует исправленному члену)

$a_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{3^{4-1}} = \frac{7}{3^3} = \frac{7}{27}$. (Верно)

Таким образом, формула общего члена, скорее всего, $a_n = \frac{2n-1}{3^{n-1}}$.

Найдем два следующих члена последовательности:

$a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{3^{5-1}} = \frac{9}{3^4} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$.

$a_6 = \frac{2 \cdot 6 - 1}{3^{6-1}} = \frac{11}{3^5} = \frac{11}{243}$.

Ответ: формула общего члена $a_n = \frac{2n-1}{3^{n-1}}$ (при условии, что в задании опечатка и третий член равен $\frac{5}{9}$); два следующих члена: $\frac{1}{9}$ и $\frac{11}{243}$.

3) Рассмотрим последовательность: $0, \frac{2}{5}, \frac{4}{25}, \frac{6}{125}, \dots$.

Проанализируем числители и знаменатели дробей отдельно.

Последовательность числителей: $0, 2, 4, 6, \dots$. Это последовательность четных чисел, начиная с нуля. Формула для n-го члена этой последовательности: $2(n-1)$.

Последовательность знаменателей: если представить первый член как $\frac{0}{1}$, то знаменатели образуют последовательность $1, 5, 25, 125, \dots$. Это степени числа 5, начиная с нулевой: $5^0, 5^1, 5^2, 5^3, \dots$. Формула для n-го члена этой последовательности: $5^{n-1}$.

Объединив формулы для числителя и знаменателя, получаем формулу общего члена: $a_n = \frac{2(n-1)}{5^{n-1}}$.

Найдем два следующих члена последовательности, $a_5$ и $a_6$:

$a_5 = \frac{2(5-1)}{5^{5-1}} = \frac{2 \cdot 4}{5^4} = \frac{8}{625}$.

$a_6 = \frac{2(6-1)}{5^{6-1}} = \frac{2 \cdot 5}{5^5} = \frac{10}{3125}$.

Ответ: формула общего члена $a_n = \frac{2(n-1)}{5^{n-1}}$; два следующих члена: $\frac{8}{625}$ и $\frac{10}{3125}$.

4) Рассмотрим последовательность: $2, 0, 2, 0, \dots$.

Эта последовательность является чередующейся. Члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, \dots$) равны 2, а члены с четными номерами ($a_2, a_4, \dots$) равны 0.

Такую зависимость от четности номера члена можно выразить с помощью выражения $(-1)^k$. Например, выражение $(-1)^{n-1}$ равно $1$ для нечетных $n$ и $-1$ для четных $n$.

Построим формулу, которая дает 2 и 0. Рассмотрим выражение $1 + (-1)^{n-1}$:

Если $n$ нечетное, $n-1$ четное, и $a_n = 1 + (-1)^{\text{четное}} = 1 + 1 = 2$.

Если $n$ четное, $n-1$ нечетное, и $a_n = 1 + (-1)^{\text{нечетное}} = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, формула общего члена $a_n = 1 + (-1)^{n-1}$ подходит.

Следующие два члена легко определить, продолжая чередование:

Пятый член ($a_5$) будет таким же, как первый и третий, то есть 2.

Шестой член ($a_6$) будет таким же, как второй и четвертый, то есть 0.

Ответ: формула общего члена $a_n = 1 + (-1)^{n-1}$; два следующих члена: 2 и 0.