Номер 2.106, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.106. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3$;

2) $2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3$;

3) $3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y$;

4) $-6bm^2 + 9m^3 - 12m^4 - 3b^2m^2$.

1) Для того чтобы представить многочлен $5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3$ в виде произведения, найдем и вынесем за скобки общий множитель всех его членов.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числовых коэффициентов 5, 10, -25, -15. НОД(5, 10, 25, 15) = 5.

2. Найдем общие переменные. Переменная $a$ входит в каждый член многочлена. Наименьшая степень переменной $a$ равна 1 ($a^1$). Переменная $b$ входит не во все члены многочлена.

3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $5a$.

4. Выполним вынесение общего множителя за скобки:

$5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3 = 5a \cdot a^3 + 5a \cdot 2a^2b - 5a \cdot 5ab^2 - 5a \cdot 3b^3 = 5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$.

Полученный в скобках многочлен $a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3$ не раскладывается на более простые множители стандартными школьными методами (например, группировкой). Поэтому представление в виде произведения является окончательным.

Ответ: $5a(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3)$.

2) Представим многочлен $2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3$ в виде произведения. Для этого найдем и вынесем за скобки общий множитель.

1. НОД числовых коэффициентов 2, -6, -6, 8 равен 2.

2. Переменная $x$ входит в каждый член многочлена с наименьшей степенью $x^1$. Переменная $y$ входит не во все члены.

3. Общий множитель для вынесения за скобки - это $2x$.

4. Вынесем $2x$ за скобки:

$2x^4 - 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3 = 2x \cdot x^3 - 2x \cdot 3x^2y - 2x \cdot 3xy^2 + 2x \cdot 4y^3 = 2x(x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

Дальнейшее разложение многочлена в скобках не представляется возможным с помощью простых методов.

Ответ: $2x(x^3 - 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3)$.

3) Представим многочлен $3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y$ в виде произведения.

1. Найдем НОД коэффициентов 3, 6, -15, -9. Он равен 3.

2. Переменная $x$ входит в каждый член многочлена. Наименьшая степень $x$ равна 2 ($x^2$). Переменная $y$ входит не во все члены.

3. Общий множитель, который можно вынести за скобки, это $3x^2$.

4. Выполним вынесение за скобки:

$3x^4 + 6x^3y - 15x^2y^2 - 9x^2y = 3x^2 \cdot x^2 + 3x^2 \cdot 2xy - 3x^2 \cdot 5y^2 - 3x^2 \cdot 3y = 3x^2(x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y)$.

Выражение в скобках не имеет простых разложений.

Ответ: $3x^2(x^2 + 2xy - 5y^2 - 3y)$.

4) Представим многочлен $-6bm^2 + 9m^3 - 12m^4 - 3b^2m^2$ в виде произведения.

1. Найдем НОД модулей коэффициентов -6, 9, -12, -3. НОД(6, 9, 12, 3) = 3.

2. Переменная $m$ входит в каждый член многочлена, наименьшая степень - $m^2$. Переменная $b$ входит не во все члены.

3. Общий множитель - $3m^2$. Для удобства, чтобы старший член в скобках был с положительным коэффициентом, вынесем за скобки $-3m^2$.

4. Вынесем $-3m^2$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного многочлена на $-3m^2$:

$\frac{-6bm^2}{-3m^2} = 2b$

$\frac{9m^3}{-3m^2} = -3m$

$\frac{-12m^4}{-3m^2} = 4m^2$

$\frac{-3b^2m^2}{-3m^2} = b^2$

Соберем результат: $-3m^2(2b - 3m + 4m^2 + b^2)$.

5. Упорядочим члены в скобках по убыванию степеней переменной $m$, а затем $b$:

$-3m^2(4m^2 - 3m + b^2 + 2b)$.

Ответ: $-3m^2(4m^2 - 3m + b^2 + 2b)$.