Номер 2.101, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.101. Разложите на множители и выполните проверку:

1) $ax+ay$;

2) $mx+nx$;

3) $-xy+2x$;

4) $-2ab-3a$;

5) $ac+bc$;

6) $-10xz+8yz$;

7) $30a^2+15ab$;

8) $8k^2+8kl$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $ax+ay$, необходимо найти общий для обоих слагаемых множитель и вынести его за скобки. В данном случае общим множителем является $a$.

$ax+ay = a(x+y)$

Для проверки выполним обратное действие — умножим множитель $a$ на каждый член в скобках:

$a(x+y) = a \cdot x + a \cdot y = ax+ay$

Результат совпал с исходным выражением, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: $a(x+y)$

2) В выражении $mx+nx$ общим множителем является переменная $x$. Вынесем ее за скобки.

$mx+nx = x(m+n)$

Выполним проверку, раскрыв скобки:

$x(m+n) = x \cdot m + x \cdot n = mx+nx$

Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $x(m+n)$

3) В выражении $-xy+2x$ общим множителем является $x$. Вынесем его за скобки.

$-xy+2x = x(-y+2) = x(2-y)$

Выполним проверку:

$x(2-y) = x \cdot 2 + x \cdot (-y) = 2x-xy$

Результат совпадает с исходным выражением (слагаемые поменялись местами).

Ответ: $x(2-y)$

4) В выражении $-2ab-3a$ общим множителем является $a$. Также можно вынести за скобку знак минус, чтобы в скобках остались положительные слагаемые. Таким образом, выносим за скобки $-a$.

$-2ab-3a = -a(2b+3)$

Выполним проверку:

$-a(2b+3) = (-a) \cdot 2b + (-a) \cdot 3 = -2ab-3a$

Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $-a(2b+3)$

5) В выражении $ac+bc$ общим множителем является переменная $c$. Вынесем ее за скобки.

$ac+bc = c(a+b)$

Выполним проверку:

$c(a+b) = c \cdot a + c \cdot b = ac+bc$

Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $c(a+b)$

6) В выражении $-10xz+8yz$ найдем общий множитель. Для числовых коэффициентов $-10$ и $8$ наибольший общий делитель (НОД) равен $2$. Общей переменной является $z$. Вынесем за скобки $2z$.

$-10xz+8yz = 2z(-5x+4y) = 2z(4y-5x)$

Можно также вынести за скобки $-2z$, чтобы первое слагаемое в скобках было положительным:

$-10xz+8yz = -2z(5x-4y)$

Выполним проверку для второго варианта:

$-2z(5x-4y) = (-2z) \cdot 5x + (-2z) \cdot (-4y) = -10xz+8yz$

Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $-2z(5x-4y)$

7) В выражении $30a^2+15ab$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов $30$ и $15$ равен $15$. Общая переменная — $a$, ее наименьшая степень в слагаемых — первая ($a^1$). Значит, общий множитель равен $15a$.

$30a^2+15ab = 15a \cdot 2a + 15a \cdot b = 15a(2a+b)$

Выполним проверку:

$15a(2a+b) = 15a \cdot 2a + 15a \cdot b = 30a^2+15ab$

Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $15a(2a+b)$

8) В выражении $8k^2+8kl$ общий множитель очевиден. Для коэффициентов это $8$, для переменных — $k$. Таким образом, выносим за скобки $8k$.

$8k^2+8kl = 8k \cdot k + 8k \cdot l = 8k(k+l)$

Выполним проверку:

$8k(k+l) = 8k \cdot k + 8k \cdot l = 8k^2+8kl$

Результат совпадает с исходным выражением.

Ответ: $8k(k+l)$