Номер 2.97, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.97. Выполните действия:

1) $(x-a)(x-b)(x-c)$

2) $(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

3) $(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)$

4) $(x-y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$

1) Для раскрытия скобок $(x-a)(x-b)(x-c)$ выполним умножение поочередно. Сначала перемножим первые два множителя:

$(x-a)(x-b) = x \cdot x - x \cdot b - a \cdot x + a \cdot b = x^2 - (a+b)x + ab$.

Теперь умножим полученный результат на третий множитель $(x-c)$:

$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c) = x \cdot (x^2 - (a+b)x + ab) - c \cdot (x^2 - (a+b)x + ab)$

$= (x^3 - (a+b)x^2 + abx) - (cx^2 - c(a+b)x + abc)$

$= x^3 - ax^2 - bx^2 + abx - cx^2 + acx + bcx - abc$.

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:

$x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$.

Ответ: $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc$

2) Рассмотрим выражение $(x^2-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$.

Заметим, что множители можно сгруппировать, используя формулы разности и суммы кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Представим первый множитель $x^2-1$ как $(x-1)(x+1)$. Тогда всё выражение примет вид:

$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$.

Сгруппируем множители следующим образом:

$[(x-1)(x^2+x+1)] \cdot [(x+1)(x^2-x+1)]$.

Первая группа является формулой разности кубов: $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1^3 = x^3-1$.

Вторая группа является формулой суммы кубов: $(x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1^3 = x^3+1$.

Теперь выражение свелось к произведению $(x^3-1)(x^3+1)$.

Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=x^3$ и $b=1$.

$(x^3-1)(x^3+1) = (x^3)^2 - 1^2 = x^6 - 1$.

Ответ: $x^6 - 1$

3) Требуется раскрыть скобки в выражении $(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)$.

Перемножим первые два множителя, сгруппировав слагаемые: $(a-(b-c))(a+(b-c))$.

Это формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=b-c$.

$(a-(b-c))(a+(b-c)) = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2$.

Теперь умножим полученный результат на третий множитель $(-a+b+c)$:

$(a^2 - b^2 + 2bc - c^2)(-a+b+c)$.

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$= a^2(-a+b+c) - b^2(-a+b+c) + 2bc(-a+b+c) - c^2(-a+b+c)$

$= (-a^3+a^2b+a^2c) + (ab^2-b^3-b^2c) + (-2abc+2b^2c+2bc^2) + (ac^2-bc^2-c^3)$.

Соберем все слагаемые и приведем подобные:

$= -a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + a^2c + ab^2 - b^2c + 2b^2c - 2abc + 2bc^2 + ac^2 - bc^2$

$= -a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$.

Ответ: $-a^3 - b^3 - c^3 + a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 - 2abc$

4) Рассмотрим произведение $(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$.

Это выражение соответствует формуле разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

В данном случае $a=x$, $b=y$ и $n=5$. Второй множитель является суммой одночленов, где степень $x$ уменьшается с 4 до 0, а степень $y$ увеличивается с 0 до 4.

Таким образом, $(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = x^5 - y^5$.

Можно также проверить это прямым умножением:

$x(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) - y(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$

$= (x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4) - (x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 + y^5)$

$= x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 - x^4y - x^3y^2 - x^2y^3 - xy^4 - y^5$.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и остается $x^5 - y^5$.

Ответ: $x^5 - y^5$