Номер 2.91, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.91. Запишите произведение в виде многочлена:

1) $(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2)$;

2) $(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2)$;

3) $(4n^2 - 1)(n^2 + 5)$;

4) $(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy)$;

5) $(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2)$;

6) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3)$.

1) Чтобы записать произведение $(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2)$ в виде многочлена, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена (используя правило фонтанчика или FOIL) и затем привести подобные слагаемые.

$(6a^2 + 5b^2)(2a^2 - 4b^2) = 6a^2 \cdot 2a^2 + 6a^2 \cdot (-4b^2) + 5b^2 \cdot 2a^2 + 5b^2 \cdot (-4b^2)$

Выполним умножение одночленов:

$12a^4 - 24a^2b^2 + 10a^2b^2 - 20b^4$

Теперь приведем подобные слагаемые (в данном случае это $-24a^2b^2$ и $10a^2b^2$):

$12a^4 + (-24 + 10)a^2b^2 - 20b^4 = 12a^4 - 14a^2b^2 - 20b^4$

Ответ: $12a^4 - 14a^2b^2 - 20b^4$

2) Раскроем скобки в выражении $(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2)$, умножая каждый член первого двучлена на каждый член второго.

$(-7m^2 - 8n^2)(-m^2 + 3n^2) = (-7m^2) \cdot (-m^2) + (-7m^2) \cdot 3n^2 + (-8n^2) \cdot (-m^2) + (-8n^2) \cdot 3n^2$

Выполним умножение:

$7m^4 - 21m^2n^2 + 8m^2n^2 - 24n^4$

Приведем подобные слагаемые ($-21m^2n^2$ и $8m^2n^2$):

$7m^4 + (-21 + 8)m^2n^2 - 24n^4 = 7m^4 - 13m^2n^2 - 24n^4$

Ответ: $7m^4 - 13m^2n^2 - 24n^4$

3) Умножим многочлены $(4n^2 - 1)(n^2 + 5)$.

$(4n^2 - 1)(n^2 + 5) = 4n^2 \cdot n^2 + 4n^2 \cdot 5 - 1 \cdot n^2 - 1 \cdot 5$

Выполним умножение:

$4n^4 + 20n^2 - n^2 - 5$

Приведем подобные слагаемые ($20n^2$ и $-n^2$):

$4n^4 + (20 - 1)n^2 - 5 = 4n^4 + 19n^2 - 5$

Ответ: $4n^4 + 19n^2 - 5$

4) Выполним умножение многочленов $(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy)$.

$(8x^2 - 3xy)(3x^3 - xy) = 8x^2 \cdot 3x^3 + 8x^2 \cdot (-xy) - 3xy \cdot 3x^3 - 3xy \cdot (-xy)$

Упростим каждое слагаемое, помня, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^a \cdot x^b = x^{a+b}$):

$24x^{2+3} - 8x^{2+1}y - 9x^{1+3}y + 3x^{1+1}y^{1+1} = 24x^5 - 8x^3y - 9x^4y + 3x^2y^2$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых. Для стандартного вида упорядочим члены по убыванию степени переменной $x$:

$24x^5 - 9x^4y - 8x^3y + 3x^2y^2$

Ответ: $24x^5 - 9x^4y - 8x^3y + 3x^2y^2$

5) Раскроем скобки в выражении $(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2)$.

$(5ab^2 - 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) = 5ab^2 \cdot 3ab^3 + 5ab^2 \cdot (-4a^2) - 4b^3 \cdot 3ab^3 - 4b^3 \cdot (-4a^2)$

Выполним умножение одночленов:

$15a^{1+1}b^{2+3} - 20a^{1+2}b^2 - 12ab^{3+3} + 16a^2b^3 = 15a^2b^5 - 20a^3b^2 - 12ab^6 + 16a^2b^3$

В данном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $15a^2b^5 - 20a^3b^2 - 12ab^6 + 16a^2b^3$

6) Выполним умножение многочленов $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3)$.

$(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) = 7x^3y^2 \cdot (-2x^2y^2) + 7x^3y^2 \cdot 5xy^3 - xy \cdot (-2x^2y^2) - xy \cdot 5xy^3$

Упростим каждое слагаемое:

$-14x^{3+2}y^{2+2} + 35x^{3+1}y^{2+3} + 2x^{1+2}y^{1+2} - 5x^{1+1}y^{1+3}$

Выполним сложение показателей степеней:

$-14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$

Подобных слагаемых в полученном выражении нет.

Ответ: $-14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$