Номер 2.85, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.85. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{1}{3}a^5 \cdot y^8\right)^2 \cdot (-3ay)^3$

2) $\left(-30x^2y^2\right)^2 : (-10xy^2)^3$

1) Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{3}a^5y^8)^2 \cdot (-3ay)^3$, необходимо сначала возвести в степень каждый из сомножителей, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Возведем в квадрат первый множитель:

$(\frac{1}{3}a^5y^8)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (y^8)^2 = \frac{1}{9} \cdot a^{5 \cdot 2} \cdot y^{8 \cdot 2} = \frac{1}{9}a^{10}y^{16}$.

Возведем в куб второй множитель:

$(-3ay)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot y^3 = -27a^3y^3$.

Теперь перемножим полученные одночлены:

$\frac{1}{9}a^{10}y^{16} \cdot (-27a^3y^3) = (\frac{1}{9} \cdot (-27)) \cdot (a^{10} \cdot a^3) \cdot (y^{16} \cdot y^3)$.

Умножим числовые коэффициенты: $\frac{1}{9} \cdot (-27) = -3$.

Умножим степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$a^{10} \cdot a^3 = a^{10+3} = a^{13}$.

$y^{16} \cdot y^3 = y^{16+3} = y^{19}$.

Объединим результаты:

$-3a^{13}y^{19}$.

Ответ: $-3a^{13}y^{19}$.

2) Чтобы упростить выражение $(-30x^2y^2)^2 : (-10xy^2)^3$, сначала возведем в степень делимое и делитель.

Возводим в квадрат делимое:

$(-30x^2y^2)^2 = (-30)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^2)^2 = 900 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{2 \cdot 2} = 900x^4y^4$.

Возводим в куб делитель:

$(-10xy^2)^3 = (-10)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -1000 \cdot x^3 \cdot y^{2 \cdot 3} = -1000x^3y^6$.

Теперь выполним деление полученных выражений. Удобно представить деление в виде дроби:

$\frac{900x^4y^4}{-1000x^3y^6} = \frac{900}{-1000} \cdot \frac{x^4}{x^3} \cdot \frac{y^4}{y^6}$.

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{900}{-1000} = -\frac{9}{10} = -0.9$.

Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x^1 = x$.

$\frac{y^4}{y^6} = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.

Объединим результаты:

$-0.9 \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{0.9x}{y^2}$.

Ответ: $-\frac{0.9x}{y^2}$.