Номер 2.79, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.79. Докажите, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 делится на 30.

Пусть $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$. Тогда две последовательные степени с основанием 5 можно записать как $5^n$ и $5^{n+1}$.

Рассмотрим их сумму, обозначив ее $S$:

$S = 5^n + 5^{n+1}$

Для доказательства того, что эта сумма делится на 30, необходимо преобразовать данное выражение. Вынесем общий множитель $5^n$ за скобки:

$S = 5^n \cdot (1 + 5) = 5^n \cdot 6$

Чтобы доказать, что полученное выражение $6 \cdot 5^n$ делится на 30, представим его в виде произведения, одним из множителей которого является 30. Так как по нашему условию $n \ge 1$, мы можем записать $5^n$ как $5 \cdot 5^{n-1}$:

$S = 6 \cdot (5 \cdot 5^{n-1})$

Перегруппируем множители:

$S = (6 \cdot 5) \cdot 5^{n-1} = 30 \cdot 5^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1$ является целым неотрицательным числом ($n-1 \ge 0$). Это означает, что $5^{n-1}$ всегда будет целым числом. Если обозначить $k = 5^{n-1}$, где $k$ — целое число, то наша сумма примет вид:

$S = 30k$

Выражение $30k$ по определению делится на 30. Таким образом, мы доказали, что сумма двух последовательных степеней с основанием 5 всегда делится на 30.

Ответ: Что и требовалось доказать.