Номер 2.73, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.73. Докажите, что при любых значениях переменной y значение выражения $y(2+y-y^2) - \frac{2}{3}(6+3y+1.5y^2)$ является отрицательным числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения является отрицательным при любых значениях переменной $y$, упростим данное выражение.

Исходное выражение: $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$.

Сначала раскроем скобки. Умножим $y$ на каждый член в первой скобке:

$y(2 + y - y^3) = y \cdot 2 + y \cdot y - y \cdot y^3 = 2y + y^2 - y^4$.

Теперь раскроем вторую скобку. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{2}$.

$-\frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2) = -\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{2}{3} \cdot 3y - \frac{2}{3} \cdot 1,5y^2 = -\frac{12}{3} - \frac{6y}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}y^2 = -4 - 2y - y^2$.

Теперь объединим полученные результаты и приведём подобные слагаемые:

$(2y + y^2 - y^4) + (-4 - 2y - y^2) = 2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(-y^4) + (y^2 - y^2) + (2y - 2y) - 4 = -y^4 + 0 + 0 - 4 = -y^4 - 4$.

В результате упрощения мы получили выражение $-y^4 - 4$. Теперь необходимо доказать, что его значение всегда отрицательно.

Выражение $y^4$ представляет собой переменную $y$, возведенную в четную (четвертую) степень. Результат возведения любого действительного числа в четную степень всегда является неотрицательным числом, то есть $y^4 \ge 0$ при любом значении $y$.

Соответственно, выражение $-y^4$ будет всегда неположительным, то есть $-y^4 \le 0$.

Если из неположительного числа ($-y^4$) вычесть положительное число 4, результат всегда будет строго отрицательным. Более формально: так как $-y^4 \le 0$, то $-y^4 - 4 \le 0 - 4$, что означает $-y^4 - 4 \le -4$.

Поскольку любое число, меньшее или равное $-4$, является отрицательным, мы доказали, что исходное выражение принимает отрицательные значения при любых значениях переменной $y$.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-y^4 - 4$. Так как $y^4 \ge 0$ для любого $y$, то $-y^4 \le 0$, и, следовательно, $-y^4 - 4 \le -4$. Это означает, что значение выражения всегда является отрицательным числом, что и требовалось доказать.