Номер 2.69, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.69. Докажите, что значение выражения:

1) $18^6 + 18^5$ кратно 19;

2) $122^{10} - 122^9$ кратно $11^2$;

3) $7^6 - 7^4$ кратно 48;

4) $4^{18} + 4^{16}$ кратно 34.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $18^6+18^5$ кратно 19, необходимо показать, что его можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 19. Для этого вынесем за скобки общий множитель $18^5$.

$18^6+18^5 = 18^5 \cdot 18^1 + 18^5 \cdot 1 = 18^5 \cdot (18+1) = 18^5 \cdot 19$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 19, то и все выражение делится на 19 без остатка, то есть кратно 19.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $122^{10}-122^9$ кратно $11^2$, преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $122^9$.

$122^{10}-122^9 = 122^9 \cdot 122^1 - 122^9 \cdot 1 = 122^9 \cdot (122-1) = 122^9 \cdot 121$.

Заметим, что $121 = 11^2$. Тогда выражение можно записать в виде $122^9 \cdot 11^2$.

Так как в произведении присутствует множитель $11^2$, то все выражение кратно $11^2$.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $7^6-7^4$ кратно 48, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $7^4$.

$7^6-7^4 = 7^4 \cdot 7^2 - 7^4 \cdot 1 = 7^4 \cdot (7^2-1)$.

Вычислим значение выражения в скобках: $7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$.

Таким образом, исходное выражение равно $7^4 \cdot 48$.

Поскольку один из множителей равен 48, все выражение делится на 48 без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.

4) Чтобы доказать, что значение выражения $4^{18}+4^{16}$ кратно 34, вынесем за скобки общий множитель $4^{16}$.

$4^{18}+4^{16} = 4^{16} \cdot 4^2 + 4^{16} \cdot 1 = 4^{16} \cdot (4^2+1)$.

Вычислим значение в скобках: $4^2+1 = 16+1=17$.

Получаем выражение $4^{16} \cdot 17$. Для доказательства делимости на 34, представим 34 в виде произведения простых чисел: $34 = 2 \cdot 17$. Множитель 17 у нас уже есть. Теперь нужно показать, что в выражении есть множитель 2. Для этого представим основание 4 как степень 2.

$4^{16} \cdot 17 = (2^2)^{16} \cdot 17 = 2^{32} \cdot 17$.

Выделим из $2^{32}$ множитель 2:

$2^{32} \cdot 17 = 2^{31} \cdot 2 \cdot 17 = 2^{31} \cdot (2 \cdot 17) = 2^{31} \cdot 34$.

Так как полученное произведение содержит множитель 34, оно кратно 34.

Ответ: что и требовалось доказать.