Номер 2.62, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.62. Преобразуйте произведение в многочлен:

1) $-4x(2x^2-5x+3);$

2) $(-2x)\cdot(x^2-x+1);$

3) $(-\frac{1}{2}a)\cdot(-4a^2-8a+6);$

4) $(-\frac{1}{3}b)\cdot(-9b^2+3b-12);$

5) $2ab(2a^2-5ab+b^2);$

6) $-3ab(2a^2-7ab-b^2);$

7) $-\frac{1}{2}xy\cdot(5x^2+10xy-4y^2);$

8) $(-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{4}mn + n^2)\cdot(-2mn).$

1) Чтобы преобразовать произведение в многочлен, нужно умножить одночлен $-4x$ на каждый член многочлена $(2x^2 - 5x + 3)$, используя распределительное свойство умножения.

$-4x \cdot (2x^2 - 5x + 3) = (-4x) \cdot (2x^2) + (-4x) \cdot (-5x) + (-4x) \cdot 3$

При умножении одночленов их коэффициенты перемножаются, а степени переменных с одинаковыми основаниями складываются.

$(-4x) \cdot (2x^2) = -8x^{1+2} = -8x^3$

$(-4x) \cdot (-5x) = 20x^{1+1} = 20x^2$

$(-4x) \cdot 3 = -12x$

Собрав все вместе, получаем многочлен:

$-8x^3 + 20x^2 - 12x$

Ответ: $-8x^3 + 20x^2 - 12x$.

2) Умножим одночлен $-2x$ на каждый член многочлена $(x^2 - x + 1)$.

$(-2x) \cdot (x^2 - x + 1) = (-2x) \cdot x^2 + (-2x) \cdot (-x) + (-2x) \cdot 1 = -2x^3 + 2x^2 - 2x$.

Ответ: $-2x^3 + 2x^2 - 2x$.

3) Умножим одночлен $(-\frac{1}{2}a)$ на каждый член многочлена $(-4a^2 - 8a + 6)$.

$(-\frac{1}{2}a) \cdot (-4a^2 - 8a + 6) = (-\frac{1}{2}a) \cdot (-4a^2) + (-\frac{1}{2}a) \cdot (-8a) + (-\frac{1}{2}a) \cdot 6$

$(-\frac{1}{2} \cdot -4)a^{1+2} + (-\frac{1}{2} \cdot -8)a^{1+1} + (-\frac{1}{2} \cdot 6)a = 2a^3 + 4a^2 - 3a$.

Ответ: $2a^3 + 4a^2 - 3a$.

4) Умножим одночлен $(-\frac{1}{3}b)$ на каждый член многочлена $(-9b^2 + 3b - 12)$.

$(-\frac{1}{3}b) \cdot (-9b^2 + 3b - 12) = (-\frac{1}{3}b) \cdot (-9b^2) + (-\frac{1}{3}b) \cdot (3b) + (-\frac{1}{3}b) \cdot (-12)$

$(-\frac{1}{3} \cdot -9)b^{1+2} + (-\frac{1}{3} \cdot 3)b^{1+1} + (-\frac{1}{3} \cdot -12)b = 3b^3 - b^2 + 4b$.

Ответ: $3b^3 - b^2 + 4b$.

5) Умножим одночлен $2ab$ на каждый член многочлена $(2a^2 - 5ab + b^2)$.

$2ab \cdot (2a^2 - 5ab + b^2) = (2ab) \cdot (2a^2) + (2ab) \cdot (-5ab) + (2ab) \cdot b^2$

$4a^{1+2}b - 10a^{1+1}b^{1+1} + 2ab^{1+2} = 4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3$.

Ответ: $4a^3b - 10a^2b^2 + 2ab^3$.

6) Умножим одночлен $-3ab$ на каждый член многочлена $(2a^2 - 7ab - b^2)$.

$-3ab \cdot (2a^2 - 7ab - b^2) = (-3ab) \cdot (2a^2) + (-3ab) \cdot (-7ab) + (-3ab) \cdot (-b^2)$

$-6a^{1+2}b + 21a^{1+1}b^{1+1} + 3ab^{1+2} = -6a^3b + 21a^2b^2 + 3ab^3$.

Ответ: $-6a^3b + 21a^2b^2 + 3ab^3$.

7) Умножим одночлен $(-\frac{1}{2}xy)$ на каждый член многочлена $(5x^2 + 10xy - 4y^2)$.

$(-\frac{1}{2}xy) \cdot (5x^2 + 10xy - 4y^2) = (-\frac{1}{2}xy) \cdot (5x^2) + (-\frac{1}{2}xy) \cdot (10xy) + (-\frac{1}{2}xy) \cdot (-4y^2)$

$-\frac{5}{2}x^{1+2}y - 5x^{1+1}y^{1+1} + 2xy^{1+2} = -\frac{5}{2}x^3y - 5x^2y^2 + 2xy^3$.

Ответ: $-\frac{5}{2}x^3y - 5x^2y^2 + 2xy^3$.

8) Умножим каждый член многочлена $(-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{4}mn + n^2)$ на одночлен $(-2mn)$.

$(-\frac{1}{2}m^2 - \frac{3}{4}mn + n^2) \cdot (-2mn) = (-\frac{1}{2}m^2) \cdot (-2mn) + (-\frac{3}{4}mn) \cdot (-2mn) + n^2 \cdot (-2mn)$

$(\frac{2}{2})m^{2+1}n + (\frac{6}{4})m^{1+1}n^{1+1} - 2mn^{2+1} = m^3n + \frac{3}{2}m^2n^2 - 2mn^3$.

Ответ: $m^3n + \frac{3}{2}m^2n^2 - 2mn^3$.