Номер 2.59, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.59. Может ли у уравнения $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 2 = 0$ быть отрицательный корень? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы определить, может ли уравнение $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 2 = 0$ иметь отрицательный корень, проанализируем знаки каждого слагаемого в левой части при условии, что $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

• Слагаемое $x^4$: так как $x$ возводится в четную степень (4), результат будет положительным: $x^4 > 0$.
• Слагаемое $-3x^3$: так как $x < 0$, то $x^3$ будет отрицательным (нечетная степень). Произведение отрицательного коэффициента $-3$ и отрицательного числа $x^3$ дает положительный результат: $-3x^3 > 0$.
• Слагаемое $4x^2$: так как $x$ возводится в четную степень (2), $x^2$ будет положительным. Произведение положительного коэффициента $4$ и положительного числа $x^2$ также положительно: $4x^2 > 0$.
• Слагаемое $-x$: поскольку $x$ является отрицательным числом, $-x$ будет положительным: $-x > 0$.
• Слагаемое $2$ — это положительная константа.

Таким образом, при любом отрицательном значении $x$, левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых: $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - x + 2 = \underbrace{x^4}_{>0} + \underbrace{(-3x^3)}_{>0} + \underbrace{4x^2}_{>0} + \underbrace{(-x)}_{>0} + \underbrace{2}_{>0}$

Сумма пяти положительных чисел всегда является положительным числом и, следовательно, не может быть равна нулю. Это означает, что ни одно отрицательное число не может являться корнем данного уравнения.

Ответ: нет, у данного уравнения не может быть отрицательных корней.