Номер 2.55, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.55. Приведите одночлен к стандартному виду:

1) $ (2a^2) \cdot \frac{1}{4}a^2; $

2) $ (-3b^4)^3 \cdot \frac{1}{27}b^3; $

3) $ (-5a^3b^2)^2 \cdot (-0,2a^2b^3)^{-1}. $

1) Рассмотрим выражение $(2a^2) \cdot \frac{1}{4}a^2$.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, нужно перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Скобки вокруг первого множителя $(2a^2)$ не меняют порядка действий, поэтому выражение эквивалентно $2a^2 \cdot \frac{1}{4}a^2$.

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:

$(2 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (a^2 \cdot a^2) = \frac{2}{4} \cdot a^{2+2} = \frac{1}{2}a^4$.

Ответ: $\frac{1}{2}a^4$.

2) Рассмотрим выражение $(-3b^4)^3 \cdot \frac{1}{27}b^3$.

Сначала упростим первый множитель, возведя его в куб, используя свойства степеней:

$(-3b^4)^3 = (-3)^3 \cdot (b^4)^3 = -27 \cdot b^{4 \cdot 3} = -27b^{12}$.

Теперь подставим результат в исходное выражение и выполним умножение:

$(-27b^{12}) \cdot (\frac{1}{27}b^3) = (-27 \cdot \frac{1}{27}) \cdot (b^{12} \cdot b^3) = -1 \cdot b^{12+3} = -b^{15}$.

Ответ: $-b^{15}$.

3) Рассмотрим выражение $(-5a^3b^2)^2 \cdot (-0,2a^2b^3)^{-1}$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $(-5a^3b^2)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 25a^{3 \cdot 2}b^{2 \cdot 2} = 25a^6b^4$.

Второй множитель: $(-0,2a^2b^3)^{-1}$. Используем свойство отрицательной степени $(xyz)^{-1} = x^{-1}y^{-1}z^{-1}$.

$(-0,2a^2b^3)^{-1} = (-0,2)^{-1} \cdot (a^2)^{-1} \cdot (b^3)^{-1}$.

Вычислим каждый сомножитель отдельно: коэффициент $(-0,2)^{-1} = (-\frac{2}{10})^{-1} = (-\frac{1}{5})^{-1} = -5$; переменные $(a^2)^{-1} = a^{-2}$ и $(b^3)^{-1} = b^{-3}$. Таким образом, второй множитель равен $-5a^{-2}b^{-3}$.

Теперь перемножим полученные упрощенные одночлены:

$(25a^6b^4) \cdot (-5a^{-2}b^{-3}) = (25 \cdot -5) \cdot (a^6 \cdot a^{-2}) \cdot (b^4 \cdot b^{-3}) = -125 \cdot a^{6-2} \cdot b^{4-3} = -125a^4b$.

Ответ: $-125a^4b$.