Номер 2.51, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.51. Какой многочлен в сумме с многочленом $5x^n-x^3-x+7$ тождественно равен:

1) $\text{0}$;

2) $\text{5}$;

3) $2x-6$;

4) $x^3-3x+2$;

5) $x^n+1$?

Для решения этой задачи необходимо для каждого пункта найти такой многочлен $P(x)$, чтобы сумма исходного многочлена $5x^n - x^3 - x + 7$ и $P(x)$ была тождественно равна выражению, указанному в пункте. Общая формула для нахождения $P(x)$ выглядит так:

$P(x) = (\text{результат}) - (5x^n - x^3 - x + 7)$

1) 0;

Пусть искомый многочлен равен $P_1(x)$. По условию, сумма многочлена $5x^n - x^3 - x + 7$ и $P_1(x)$ должна быть тождественно равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_1(x) = 0$

Чтобы найти $P_1(x)$, выразим его из этого уравнения:

$P_1(x) = 0 - (5x^n - x^3 - x + 7)$

Раскроем скобки, изменив знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$P_1(x) = -5x^n + x^3 + x - 7$

Ответ: $-5x^n + x^3 + x - 7$.

2) 5;

Пусть искомый многочлен равен $P_2(x)$. Сумма $5x^n - x^3 - x + 7$ и $P_2(x)$ должна быть равна 5:

$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_2(x) = 5$

Выразим $P_2(x)$:

$P_2(x) = 5 - (5x^n - x^3 - x + 7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P_2(x) = 5 - 5x^n + x^3 + x - 7$

$P_2(x) = -5x^n + x^3 + x + (5 - 7)$

$P_2(x) = -5x^n + x^3 + x - 2$

Ответ: $-5x^n + x^3 + x - 2$.

3) 2x-6;

Пусть искомый многочлен равен $P_3(x)$. Сумма $5x^n - x^3 - x + 7$ и $P_3(x)$ должна быть равна $2x-6$:

$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_3(x) = 2x - 6$

Выразим $P_3(x)$:

$P_3(x) = (2x - 6) - (5x^n - x^3 - x + 7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P_3(x) = 2x - 6 - 5x^n + x^3 + x - 7$

$P_3(x) = -5x^n + x^3 + (2x + x) + (-6 - 7)$

$P_3(x) = -5x^n + x^3 + 3x - 13$

Ответ: $-5x^n + x^3 + 3x - 13$.

4) $x^3-3x+2$;

Пусть искомый многочлен равен $P_4(x)$. Сумма $5x^n - x^3 - x + 7$ и $P_4(x)$ должна быть равна $x^3-3x+2$:

$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_4(x) = x^3 - 3x + 2$

Выразим $P_4(x)$:

$P_4(x) = (x^3 - 3x + 2) - (5x^n - x^3 - x + 7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P_4(x) = x^3 - 3x + 2 - 5x^n + x^3 + x - 7$

$P_4(x) = -5x^n + (x^3 + x^3) + (-3x + x) + (2 - 7)$

$P_4(x) = -5x^n + 2x^3 - 2x - 5$

Ответ: $-5x^n + 2x^3 - 2x - 5$.

5) $x^n+1$?;

Пусть искомый многочлен равен $P_5(x)$. Сумма $5x^n - x^3 - x + 7$ и $P_5(x)$ должна быть равна $x^n+1$ (вопросительный знак, вероятно, является опечаткой в условии):

$(5x^n - x^3 - x + 7) + P_5(x) = x^n + 1$

Выразим $P_5(x)$:

$P_5(x) = (x^n + 1) - (5x^n - x^3 - x + 7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P_5(x) = x^n + 1 - 5x^n + x^3 + x - 7$

$P_5(x) = (x^n - 5x^n) + x^3 + x + (1 - 7)$

$P_5(x) = -4x^n + x^3 + x - 6$

Ответ: $-4x^n + x^3 + x - 6$.