Номер 2.56, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Докажите, что произведение двух последовательных четных чисел кратно 4.

Для доказательства представим два последовательных четных числа в общем виде. Любое четное число можно записать как $2n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Пусть первое четное число равно $2n$.

Тогда следующее за ним последовательное четное число будет $2n + 2$.

Найдем произведение этих двух чисел:

$P = 2n \cdot (2n + 2)$

Во втором сомножителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$P = 2n \cdot 2(n + 1)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$P = 4n(n + 1)$

В полученном выражении $n$ и $n+1$ являются двумя последовательными целыми числами. Их произведение $n(n + 1)$ также является целым числом. Обозначим $k = n(n + 1)$, где $k$ — целое число.

Таким образом, произведение двух последовательных четных чисел можно представить в виде $P = 4k$.

Согласно определению делимости, если число можно представить как произведение 4 и некоторого целого числа $k$, то оно кратно 4 (делится на 4 без остатка).

Следовательно, произведение двух последовательных четных чисел всегда кратно 4, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение двух последовательных четных чисел, которые можно представить как $2n$ и $2n+2$, равно $2n(2n+2) = 4n(n+1)$. Поскольку $n(n+1)$ является произведением двух последовательных целых чисел и, следовательно, само является целым числом, то все произведение $4n(n+1)$ делится на 4 нацело.