Номер 2.53, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.53. Найдите наименьшее числовое значение суммы:

1) $1+2x^2 + (x^4-x^2+1)$;

2) $4a^2-4-(5+3a^2) + (a^4-a^2)$.

1) Чтобы найти наименьшее значение суммы $1 + 2x^2 + (x^4 - x^2 + 1)$, сначала упростим это выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 + 2x^2 + x^4 - x^2 + 1 = x^4 + (2x^2 - x^2) + (1 + 1) = x^4 + x^2 + 2$.

Теперь нам нужно найти наименьшее значение выражения $x^4 + x^2 + 2$.

Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, мы имеем $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, их сумма $x^4 + x^2$ также будет неотрицательной: $x^4 + x^2 \ge 0$.

Наименьшее значение суммы $x^4 + x^2$ достигается тогда, когда оба слагаемых равны нулю, что происходит при $x=0$. При $x=0$ значение суммы равно $0^4 + 0^2 = 0$.

Таким образом, наименьшее значение всего выражения $x^4 + x^2 + 2$ будет равно $0 + 2 = 2$.

Ответ: 2

2) Рассмотрим выражение $4a^2 - 4 - (5 + 3a^2) + (a^4 - a^2)$ и найдем его наименьшее значение. Для начала упростим его. Раскроем скобки:

$4a^2 - 4 - 5 - 3a^2 + a^4 - a^2$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (4a^2 - 3a^2 - a^2) + (-4 - 5) = a^4 + 0 \cdot a^2 - 9 = a^4 - 9$.

Мы получили выражение $a^4 - 9$. Чтобы найти его наименьшее значение, нужно найти наименьшее значение слагаемого $a^4$.

Так как $a$ возводится в четвертую (четную) степень, значение $a^4$ всегда неотрицательно, то есть $a^4 \ge 0$ для любого действительного числа $a$.

Наименьшее значение $a^4$ равно 0 и достигается при $a=0$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $a^4 - 9$ равно $0 - 9 = -9$.

Ответ: -9