Номер 2.47, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.47. Представьте выражение $3x^3-2x^2-x+4$ в виде суммы двух многочленов так, чтобы одно из слагаемых было равно:

1) $x^3+4$;

2) $2x^3-x^2-x$.

Чтобы представить многочлен $P(x) = 3x^3 - 2x^2 - x + 4$ в виде суммы двух многочленов $A(x)$ и $B(x)$, где $P(x) = A(x) + B(x)$, и один из многочленов, например $A(x)$, известен, нужно найти второй многочлен $B(x)$. Это можно сделать, вычтя известный многочлен $A(x)$ из исходного многочлена $P(x)$. Таким образом, $B(x) = P(x) - A(x)$.

1) В этом случае одно из слагаемых равно $x^3+4$. Обозначим этот многочлен как $A(x)$.

$A(x) = x^3+4$.

Теперь найдем второй многочлен $B(x)$ как разность $P(x)$ и $A(x)$:

$B(x) = (3x^3 - 2x^2 - x + 4) - (x^3 + 4)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во втором многочлене на противоположные:

$B(x) = 3x^3 - 2x^2 - x + 4 - x^3 - 4$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$B(x) = (3x^3 - x^3) - 2x^2 - x + (4 - 4)$

$B(x) = 2x^3 - 2x^2 - x$

Следовательно, исходное выражение можно представить в виде следующей суммы:

$3x^3 - 2x^2 - x + 4 = (x^3 + 4) + (2x^3 - 2x^2 - x)$

Ответ: $(x^3 + 4) + (2x^3 - 2x^2 - x)$.

2) В этом случае одно из слагаемых равно $2x^3-x^2-x$. Обозначим его как $A(x)$.

$A(x) = 2x^3-x^2-x$.

Найдем второй многочлен $B(x)$:

$B(x) = (3x^3 - 2x^2 - x + 4) - (2x^3 - x^2 - x)$

Раскроем скобки:

$B(x) = 3x^3 - 2x^2 - x + 4 - 2x^3 + x^2 + x$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$B(x) = (3x^3 - 2x^3) + (-2x^2 + x^2) + (-x + x) + 4$

$B(x) = x^3 - x^2 + 4$

Следовательно, исходное выражение можно представить в виде следующей суммы:

$3x^3 - 2x^2 - x + 4 = (2x^3 - x^2 - x) + (x^3 - x^2 + 4)$

Ответ: $(2x^3 - x^2 - x) + (x^3 - x^2 + 4)$.