Номер 2.44, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.44. Составьте сумму многочленов и приведите подобные члены:

1) $5x^4+3x^3y-2x^2y^2-4xy^3$, $3x^4-8x^3y+9x^2y^2+xy^3$ и $-6x^4+x^3y+5x^2y^2-9xy^3$;

2) $-\frac{5}{6}a^2+4\frac{2}{3}ab+\frac{3}{4}b^2$, $\frac{5}{12}a^2-\frac{4}{3}ab-\frac{7}{4}b^2$ и $2\frac{1}{2}a^2+\frac{5}{4}ab-b^2$;

3) $5\frac{1}{4}m^3+2\frac{1}{6}m^2n+3\frac{1}{2}mn^2-8\frac{2}{3}n^3$ и $13m^2n-1\frac{1}{4}mn^2-3\frac{5}{6}m^3+n^3$.

1) Чтобы составить сумму многочленов, сложим их и запишем в виде одного выражения, заключив каждый многочлен в скобки:

$(5x^4 + 3x^3y - 2x^2y^2 - 4xy^3) + (3x^4 - 8x^3y + 9x^2y^2 + xy^3) + (-6x^4 + x^3y + 5x^2y^2 - 9xy^3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью):

$(5x^4 + 3x^4 - 6x^4) + (3x^3y - 8x^3y + x^3y) + (-2x^2y^2 + 9x^2y^2 + 5x^2y^2) + (-4xy^3 + xy^3 - 9xy^3)$

Приведем подобные члены, складывая их коэффициенты:

$(5+3-6)x^4 + (3-8+1)x^3y + (-2+9+5)x^2y^2 + (-4+1-9)xy^3 = 2x^4 - 4x^3y + 12x^2y^2 - 12xy^3$

Ответ: $2x^4 - 4x^3y + 12x^2y^2 - 12xy^3$

2) Составим сумму данных многочленов:

$(-\frac{5}{6}a^2 + 4\frac{2}{3}ab + \frac{3}{4}b^2) + (\frac{5}{12}a^2 - \frac{4}{3}ab - \frac{7}{4}b^2) + (2\frac{1}{2}a^2 + \frac{5}{4}ab - b^2)$

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$; $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные члены:

$(-\frac{5}{6}a^2 + \frac{5}{12}a^2 + \frac{5}{2}a^2) + (\frac{14}{3}ab - \frac{4}{3}ab + \frac{5}{4}ab) + (\frac{3}{4}b^2 - \frac{7}{4}b^2 - b^2)$

Вычислим коэффициенты для каждой группы подобных членов:

Для $a^2$: $-\frac{5}{6} + \frac{5}{12} + \frac{5}{2} = -\frac{10}{12} + \frac{5}{12} + \frac{30}{12} = \frac{-10+5+30}{12} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}$.

Для $ab$: $\frac{14}{3} - \frac{4}{3} + \frac{5}{4} = \frac{10}{3} + \frac{5}{4} = \frac{40}{12} + \frac{15}{12} = \frac{55}{12} = 4\frac{7}{12}$.

Для $b^2$: $\frac{3}{4} - \frac{7}{4} - 1 = \frac{3-7-4}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Собрав полученные коэффициенты, получаем итоговый многочлен:

Ответ: $2\frac{1}{12}a^2 + 4\frac{7}{12}ab - 2b^2$

3) Составим сумму данных многочленов:

$(5\frac{1}{4}m^3 + 2\frac{1}{6}m^2n + 3\frac{1}{2}mn^2 - 8\frac{2}{3}n^3) + (13m^2n - 1\frac{1}{4}mn^2 - 3\frac{5}{6}m^3 + n^3)$

Сгруппируем подобные члены:

$(5\frac{1}{4}m^3 - 3\frac{5}{6}m^3) + (2\frac{1}{6}m^2n + 13m^2n) + (3\frac{1}{2}mn^2 - 1\frac{1}{4}mn^2) + (-8\frac{2}{3}n^3 + n^3)$

Вычислим коэффициенты для каждой группы, переводя смешанные числа в неправильные дроби при необходимости:

Для $m^3$: $5\frac{1}{4} - 3\frac{5}{6} = \frac{21}{4} - \frac{23}{6} = \frac{63}{12} - \frac{46}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$.

Для $m^2n$: $2\frac{1}{6} + 13 = 15\frac{1}{6}$.

Для $mn^2$: $3\frac{1}{2} - 1\frac{1}{4} = \frac{7}{2} - \frac{5}{4} = \frac{14}{4} - \frac{5}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Для $n^3$: $-8\frac{2}{3} + 1 = -7\frac{2}{3}$.

Собрав полученные коэффициенты, получаем итоговый многочлен:

Ответ: $1\frac{5}{12}m^3 + 15\frac{1}{6}m^2n + 2\frac{1}{4}mn^2 - 7\frac{2}{3}n^3$