Номер 2.37, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

1) $3aa^4+3aa^3-5a^2a^2-5a^2a;$

2) $5a \cdot 2b^2 - 5a \cdot 3ab - a^2b + 6ab^2;$

3) $3x \cdot 4y^2 - 0,8y \cdot 4y^2 - 2xy \cdot 3y + y \cdot 3y^2 - 1;$

4) $2m^2n^3 - mn^3 - m^4 - m^2n^3 + mn^3 + 2m^4.$

1) Исходное выражение: $3aa^4+3aa^3-5a^2a-5a^2a$. Заметим, что в условии, скорее всего, опечатка, и второй член должен быть $3aa^3$, а третий $-5a^2a^2$, как это часто бывает в подобных заданиях для создания подобных членов. Предположим, что выражение выглядит так: $3aa^4+3aa^3-5a^2a^2-5a^2a$. Сначала приведем каждый одночлен к стандартному виду, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $3aa^4 = 3a^{1+4} = 3a^5$; $3aa^3 = 3a^{1+3} = 3a^4$; $5a^2a^2 = 5a^{2+2} = 5a^4$; $5a^2a = 5a^{2+1} = 5a^3$. Теперь подставим полученные одночлены в выражение: $3a^5 + 3a^4 - 5a^4 - 5a^3$. Далее приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью): $3a^5 + (3a^4 - 5a^4) - 5a^3 = 3a^5 + (3-5)a^4 - 5a^3 = 3a^5 - 2a^4 - 5a^3$. Многочлен записан в стандартном виде, так как все его члены являются одночленами стандартного вида, среди них нет подобных, и они расположены в порядке убывания степеней переменной. Ответ: $3a^5 - 2a^4 - 5a^3$.

2) Исходное выражение: $5a \cdot 2b^2 - 5a \cdot 3ab - a^2b + 6ab^2$. Сначала упростим одночлены, выполнив умножение: $5a \cdot 2b^2 = (5 \cdot 2)ab^2 = 10ab^2$; $5a \cdot 3ab = (5 \cdot 3)a \cdot a \cdot b = 15a^2b$. Подставим упрощенные члены обратно в выражение: $10ab^2 - 15a^2b - a^2b + 6ab^2$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются члены с одинаковой буквенной частью ($ab^2$ и $a^2b$): $(10ab^2 + 6ab^2) + (-15a^2b - a^2b) = (10+6)ab^2 + (-15-1)a^2b = 16ab^2 - 16a^2b$. Для стандартного вида многочлена принято располагать его члены в порядке убывания степени одной из переменных (например, $a$). $-16a^2b + 16ab^2$. Ответ: $-16a^2b + 16ab^2$.

3) Исходное выражение: $3x \cdot 4y^2 - 0,8y \cdot 4y^2 - 2xy \cdot 3y + y \cdot 3y^2 - 1$. Приведем каждый член, содержащий произведение, к стандартному виду одночлена: $3x \cdot 4y^2 = (3 \cdot 4)xy^2 = 12xy^2$; $0,8y \cdot 4y^2 = (0,8 \cdot 4)y^{1+2} = 3,2y^3$; $2xy \cdot 3y = (2 \cdot 3)xy^{1+1} = 6xy^2$; $y \cdot 3y^2 = 3y^{1+2} = 3y^3$. Теперь выражение принимает вид: $12xy^2 - 3,2y^3 - 6xy^2 + 3y^3 - 1$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-3,2y^3 + 3y^3) + (12xy^2 - 6xy^2) - 1 = (-3,2+3)y^3 + (12-6)xy^2 - 1 = -0,2y^3 + 6xy^2 - 1$. Полученный многочлен записан в стандартном виде, члены упорядочены по убыванию степени переменной $y$. Ответ: $-0,2y^3 + 6xy^2 - 1$.

4) Исходное выражение: $2m^2n^3 - mn^3 - m^4 - m^2n^3 + mn^3 + 2m^4$. Все одночлены в данном выражении уже представлены в стандартном виде. Сразу перейдем к приведению подобных слагаемых. Сгруппируем члены с одинаковыми буквенными частями: $(-m^4 + 2m^4) + (2m^2n^3 - m^2n^3) + (-mn^3 + mn^3)$. Выполним действия в каждой группе: $(-1+2)m^4 + (2-1)m^2n^3 + (-1+1)mn^3 = 1 \cdot m^4 + 1 \cdot m^2n^3 + 0 \cdot mn^3 = m^4 + m^2n^3$. Члены $-mn^3$ и $+mn^3$ являются противоположными, и их сумма равна нулю. Итоговый многочлен в стандартном виде (упорядочен по убыванию степени переменной $m$): $m^4 + m^2n^3$. Ответ: $m^4 + m^2n^3$.