Номер 2.52, страница 57 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.52. Докажите, что многочлен, содержащий только четные степени одной и той же переменной, не меняет своего значения при изменении знака переменной на противоположный.

Пусть $P(x)$ — это многочлен от переменной $x$, который содержит только четные степени этой переменной. Общий вид такого многочлена можно записать в виде суммы членов:

$P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2} + \dots + a_2x^2 + a_0$

Здесь $a_{2n}, a_{2n-2}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, а показатели степеней $2n, 2n-2, \dots, 2$ — четные числа. Свободный член $a_0$ можно рассматривать как $a_0x^0$, где степень 0 также является четным числом.

Чтобы проверить, как изменится значение многочлена при изменении знака переменной на противоположный, подставим в него $-x$ вместо $x$. Получим многочлен $P(-x)$:

$P(-x) = a_{2n}(-x)^{2n} + a_{2n-2}(-x)^{2n-2} + \dots + a_2(-x)^2 + a_0$

Рассмотрим произвольный член этого многочлена вида $a_{2k}(-x)^{2k}$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Используя свойство возведения в степень произведения, мы можем записать:

$(-x)^{2k} = (-1 \cdot x)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot x^{2k}$

Поскольку показатель степени $2k$ является четным числом, то $(-1)$, возведенное в четную степень, всегда равно 1. Действительно, $(-1)^{2k} = ((-1)^2)^k = 1^k = 1$.

Таким образом, для любого члена многочлена справедливо равенство:

$(-x)^{2k} = x^{2k}$

Это означает, что каждый член в выражении для $P(-x)$ равен соответствующему члену в выражении для $P(x)$:

$a_{2k}(-x)^{2k} = a_{2k}x^{2k}$

Следовательно, весь многочлен $P(-x)$ будет равен исходному многочлену $P(x)$:

$P(-x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-2}x^{2n-2} + \dots + a_2x^2 + a_0 = P(x)$

Мы показали, что $P(-x) = P(x)$. Это доказывает, что значение многочлена, содержащего только четные степени переменной, не изменяется при смене знака этой переменной на противоположный.

Ответ: Доказательство основано на свойстве четных степеней: для любого числа $x$ и любого целого числа $k$ выполняется равенство $(-x)^{2k} = x^{2k}$. Поскольку многочлен $P(x)$ состоит только из членов вида $a_{2k}x^{2k}$, при замене $x$ на $-x$ каждый его член не изменяется: $a_{2k}(-x)^{2k} = a_{2k}x^{2k}$. Следовательно, и сумма всех членов, то есть сам многочлен, не меняет своего значения. Таким образом, $P(-x) = P(x)$, что и требовалось доказать.