Номер 2.65, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.65. Представьте одночлен в виде произведения множителей:

1) $8b^3$;

2) $3^4y^8$;

3) $-6ab^2$;

4) $27a^6x^3$;

5) $9x^4$;

6) $-10m^3n^3$;

7) $a^6$;

8) $81y^8$;

9) $p^5q^7$.

1) Чтобы представить одночлен $8b^3$ в виде произведения, заметим, что коэффициент 8 является кубом числа 2, то есть $8 = 2^3$. Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, мы можем сгруппировать множители: $8b^3 = 2^3 \cdot b^3 = (2b)^3$. Это представление одночлена в виде произведения трех одинаковых множителей $2b \cdot 2b \cdot 2b$.

Ответ: $(2b)^3$.

2) Сначала вычислим числовой коэффициент: $3^4 = 81$. Одночлен имеет вид $81y^8$. Представим 81 как $3^4$ и $y^8$ как степень с показателем 4, то есть $y^8 = (y^2)^4$. Используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $81y^8 = 3^4 \cdot (y^2)^4 = (3y^2)^4$. Это произведение четырех одинаковых множителей.

Ответ: $(3y^2)^4$.

3) Одночлен $-6ab^2$ не является точной степенью другого одночлена. Его можно представить в виде произведения, разложив на множители. Например, можно разложить числовой коэффициент $-6$ как $-2 \cdot 3$ и $b^2$ как $b \cdot b$. $-6ab^2 = -2 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot b$. Также можно сгруппировать множители различными способами, например, $(-3a) \cdot (2b^2)$ или $(6b) \cdot (-ab)$. Представим один из возможных вариантов.

Ответ: $(-2a) \cdot (3b^2)$.

4) Представим каждый множитель одночлена $27a^6x^3$ в виде степени с показателем 3. Коэффициент 27 это $3^3$. $a^6$ можно записать как $(a^2)^3$. $x^3$ уже является кубом. Соберем все вместе, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$: $27a^6x^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot x^3 = (3a^2x)^3$.

Ответ: $(3a^2x)^3$.

5) Для представления одночлена $9x^4$ в виде произведения, представим его части в виде квадратов. Коэффициент 9 это $3^2$. $x^4$ можно записать как $(x^2)^2$. Применяя свойство $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $9x^4 = 3^2 \cdot (x^2)^2 = (3x^2)^2$.

Ответ: $(3x^2)^2$.

6) В одночлене $-10m^3n^3$ переменные $m$ и $n$ имеют одинаковую степень 3. Их можно сгруппировать: $m^3n^3 = (mn)^3$. Коэффициент -10 не является кубом целого числа, поэтому мы оставим его как отдельный множитель. Таким образом, одночлен можно представить в виде произведения: $-10 \cdot (mn)^3$.

Ответ: $-10(mn)^3$.

7) Одночлен $a^6$ можно представить в виде произведения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$. Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, мы можем записать $a^6 = (a^3)^2$, что является произведением $a^3 \cdot a^3$. Также, поскольку $6 = 3 \cdot 2$, можно записать $a^6 = (a^2)^3$, что является произведением $a^2 \cdot a^2 \cdot a^2$. Оба варианта верны.

Ответ: $(a^2)^3$.

8) Одночлен $81y^8$ можно представить в виде квадрата. Коэффициент 81 это $9^2$. $y^8$ можно представить как $(y^4)^2$. Используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $81y^8 = 9^2 \cdot (y^4)^2 = (9y^4)^2$. (Это задание идентично второму, так как $3^4 = 81$).

Ответ: $(9y^4)^2$.

9) Одночлен $p^5q^7$ не является точной степенью другого одночлена. Чтобы представить его в виде произведения, можно выделить общую степень. Наибольший общий показатель степени, который можно использовать, это 5. Представим $q^7$ как $q^5 \cdot q^2$. Тогда $p^5q^7 = p^5 \cdot q^5 \cdot q^2$. Сгруппируем множители с одинаковым показателем: $(pq)^5 \cdot q^2$.

Ответ: $(pq)^5 \cdot q^2$.