Номер 2.67, страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.67. Выполните умножение:

1) $4a^2b^2 \cdot (2a^3 - 3a^2 + 3a - 1);$

2) $-2a^2b \cdot (8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^2 + 5b^3);$

3) $-3x^2y \cdot (-2xy^3 + 5x^2y^2 - 5x^3y + 3x^4);$

4) $-5abc \cdot (4ab^2c - 7a^2b^2c^2 + 3a^2bc).$

1) Чтобы выполнить умножение одночлена на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это следует из распределительного закона умножения.

$4a^2b^2 \cdot (2a^3 - 3a^2 + 3a - 1) = 4a^2b^2 \cdot 2a^3 + 4a^2b^2 \cdot (-3a^2) + 4a^2b^2 \cdot 3a + 4a^2b^2 \cdot (-1)$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

$(4 \cdot 2)a^{2+3}b^2 + (4 \cdot (-3))a^{2+2}b^2 + (4 \cdot 3)a^{2+1}b^2 - 4a^2b^2 = $

$= 8a^5b^2 - 12a^4b^2 + 12a^3b^2 - 4a^2b^2$

Ответ: $8a^5b^2 - 12a^4b^2 + 12a^3b^2 - 4a^2b^2$

2) Умножим одночлен $-2a^2b$ на каждый член многочлена $(8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^3 + 5b^4)$.

$-2a^2b \cdot (8a^3 - 4a^2b^2 - 3ab^3 + 5b^4) = (-2a^2b) \cdot 8a^3 + (-2a^2b) \cdot (-4a^2b^2) + (-2a^2b) \cdot (-3ab^3) + (-2a^2b) \cdot 5b^4$

Выполним умножение для каждого слагаемого, складывая показатели степеней для одинаковых оснований.

$(-2 \cdot 8)a^{2+3}b + (-2 \cdot (-4))a^{2+2}b^{1+2} + (-2 \cdot (-3))a^{2+1}b^{1+3} + (-2 \cdot 5)a^2b^{1+4} = $

$= -16a^5b + 8a^4b^3 + 6a^3b^4 - 10a^2b^5$

Ответ: $-16a^5b + 8a^4b^3 + 6a^3b^4 - 10a^2b^5$

3) Умножим одночлен $-3x^2y$ на каждый член многочлена $(-2xy^3 + 5x^2y^2 - 5x^3y + 3x^4)$.

$-3x^2y \cdot (-2xy^3 + 5x^2y^2 - 5x^3y + 3x^4) = (-3x^2y) \cdot (-2xy^3) + (-3x^2y) \cdot 5x^2y^2 + (-3x^2y) \cdot (-5x^3y) + (-3x^2y) \cdot 3x^4$

Выполним умножение, складывая показатели степеней.

$(-3 \cdot (-2))x^{2+1}y^{1+3} + (-3 \cdot 5)x^{2+2}y^{1+2} + (-3 \cdot (-5))x^{2+3}y^{1+1} + (-3 \cdot 3)x^{2+4}y = $

$= 6x^3y^4 - 15x^4y^3 + 15x^5y^2 - 9x^6y$

Для удобства можно записать члены многочлена в порядке убывания степени переменной $x$:

$-9x^6y + 15x^5y^2 - 15x^4y^3 + 6x^3y^4$

Ответ: $6x^3y^4 - 15x^4y^3 + 15x^5y^2 - 9x^6y$

4) Умножим одночлен $-5abc$ на каждый член многочлена $(4ab^2c - 7a^2bc^2 + 3a^3bc)$.

$-5abc \cdot (4ab^2c - 7a^2bc^2 + 3a^3bc) = (-5abc) \cdot 4ab^2c + (-5abc) \cdot (-7a^2bc^2) + (-5abc) \cdot 3a^3bc$

Выполним умножение, складывая показатели степеней для одинаковых оснований $a$, $b$ и $c$.

$(-5 \cdot 4)a^{1+1}b^{1+2}c^{1+1} + (-5 \cdot (-7))a^{1+2}b^{1+1}c^{1+2} + (-5 \cdot 3)a^{1+3}b^{1+1}c^{1+1} = $

$= -20a^2b^3c^2 + 35a^3b^2c^3 - 15a^4b^2c^2$

Запишем результат, упорядочив члены по убыванию степени переменной $a$:

$-15a^4b^2c^2 + 35a^3b^2c^3 - 20a^2b^3c^2$

Ответ: $-20a^2b^3c^2 + 35a^3b^2c^3 - 15a^4b^2c^2$