Номер 2.71, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.71. Двузначное число имеет $\text{a}$ десятков и $\text{b}$ единиц. Между цифрами этого числа записали цифру 0 и получили трехзначное число. Докажите, что разность полученного трехзначного числа и данного двузначного числа кратна 90.

Пусть исходное двузначное число имеет a десятков и b единиц. Значение этого числа можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $10a + b$. Поскольку число является двузначным, цифра десятков a может принимать значения от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а цифра единиц b — от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Когда между цифрами a и b вставляют цифру 0, получается новое, трехзначное число. У этого числа a сотен, 0 десятков и b единиц. Его значение можно записать в виде суммы разрядных слагаемых как $100a + 0 \cdot 10 + b$, что равно $100a + b$.

Теперь найдем разность полученного трехзначного числа и исходного двузначного числа: $(100a + b) - (10a + b)$.

Упростим это выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $100a + b - 10a - b = (100a - 10a) + (b - b) = 90a$.

Разность двух чисел равна $90a$. По определению, число кратно 90, если оно является произведением числа 90 и некоторого целого числа. В нашем случае множителем является a — цифра десятков исходного числа, которая является целым числом. Следовательно, выражение $90a$ всегда кратно 90, что и требовалось доказать.

Ответ: Разность полученного трехзначного числа и данного двузначного числа равна $90a$, где $a$ — это цифра десятков исходного числа. Так как $a$ — это целое число, то произведение $90a$ всегда кратно 90.