Номер 2.76, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.76. В общем виде трехзначное число записывают так: $\overline{abc}$, в котором a сотен, b десятков и c единиц. Это число можно представить в виде:

$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c.$

Например: $845 = 100 \cdot 8 + 10 \cdot 4 + 5.$

Докажите, что $\overline{abc} - \overline{cba}$ делится на 99, если $a > c.$

Согласно условию, трехзначное число $\overline{abc}$ можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых: $\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$.

Аналогично, число $\overline{cba}$, записанное теми же цифрами в обратном порядке, можно представить как: $\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$.

Теперь найдем разность этих двух чисел: $\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$.

Упростим это выражение, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены: $100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a - 99c$.

Вынесем общий множитель 99 за скобки: $99a - 99c = 99(a - c)$.

По условию задачи $a$ и $c$ — это цифры, причем $a > c$. Это означает, что разность $(a - c)$ является целым положительным числом.

Таким образом, разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ равна произведению числа 99 на целое число $(a - c)$. По определению делимости, если число можно представить в виде произведения $99 \cdot k$, где $k$ — целое число, то это число делится на 99.

Следовательно, выражение $\overline{abc} - \overline{cba}$ всегда делится на 99, если $a > c$.

Ответ: Так как разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ можно представить в виде $99(a - c)$, а $a$ и $c$ — цифры, то $(a-c)$ является целым числом. Следовательно, выражение $99(a - c)$ всегда делится на 99.