Номер 2.78, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.78. Докажите, что сумма трех последовательных степеней с основанием 2 делится на 14.

Пусть даны три последовательные степени с основанием 2. Обозначим их как $2^n$, $2^{n+1}$ и $2^{n+2}$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$).

Найдем их сумму, обозначив ее через $S$:

$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$

Чтобы доказать делимость суммы на 14, преобразуем это выражение. Вынесем за скобки общий множитель, которым является наименьшая степень в сумме, то есть $2^n$:

$S = 2^n (1 + 2^1 + 2^2)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$1 + 2^1 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$

Подставив полученное значение обратно в выражение для суммы, получим:

$S = 2^n \cdot 7$

Чтобы доказать, что число $S$ делится на 14, нам нужно показать, что оно представимо в виде $14 \cdot k$, где $k$ — целое число. Поскольку $14 = 2 \cdot 7$, мы должны убедиться, что в разложении числа $S$ есть множители 2 и 7.

В выражении $S = 2^n \cdot 7$ множитель 7 уже присутствует. Также нам нужен множитель 2. Так как по нашему первоначальному условию $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $2^n$ всегда делится на 2.

Чтобы показать это явно, представим $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$. Это преобразование корректно, поскольку $n \ge 1$ и, следовательно, $n-1 \ge 0$.

Тогда выражение для суммы примет вид:

$S = (2 \cdot 2^{n-1}) \cdot 7 = (2 \cdot 7) \cdot 2^{n-1} = 14 \cdot 2^{n-1}$

Поскольку $n \ge 1$, показатель степени $n-1$ является целым неотрицательным числом, а значит $2^{n-1}$ — это целое число. Таким образом, сумма $S$ всегда равна произведению числа 14 на целое число $2^{n-1}$. Это означает, что сумма $S$ всегда делится на 14 без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.