Номер 2.75, страница 62 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.75. Докажите, что если к целому числу прибавить квадрат этого числа, то полученная сумма будет четным числом.

Пусть $n$ — произвольное целое число. Нам необходимо доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, всегда является четным числом.

Для доказательства преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки:

$S = n + n^2 = n(n + 1)$

Выражение $n(n + 1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Любое целое число может быть либо четным, либо нечетным. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $n$ — четное число.

Если $n$ четно, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n + 1) = 2k(2k + 1)$ содержит множитель 2, а значит, оно делится на 2 и является четным.

Случай 2: $n$ — нечетное число.

Если $n$ нечетно, то его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда следующее за ним число $n + 1$ будет равно $(2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$. Видно, что число $n + 1$ является четным. Произведение нечетного числа $n$ на четное число $n + 1$ всегда будет четным.

Таким образом, поскольку в паре последовательных целых чисел $(n, n+1)$ всегда одно число четное, их произведение $n(n + 1)$ всегда является четным числом. Это доказывает, что сумма целого числа и его квадрата всегда четна.

Ответ: утверждение доказано.